一
关于数学的整体性结构性，有不少经典论述。瑞士儿童心理学家让˙皮亚杰(Jean Piaget)早在1968年出版的《结构主义》一书中指出：“如果不从检验数学结构开始，就不可能对结构主义进行批判性的陈述”“几乎在所有的数学领域里，并且在逻辑学里，我们都发现了群结构”。
美国著名代数学家A.A.阿尔贝特（A.Albert）说：“数学是结构的科学。当直觉和未经分析的经验表明在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学就有了任务，这就是以精确的和客观的形式系统地阐明基本的结构特征。”南京大学郑毓信教授在《新数学教育哲学》里强调：“数学对象的建构事实上是一种整体性的建构活动。或者说，数学的对象并非各个孤立的模式，而是整体性的 ‘建构’”。可见, 整体性结构性是数学学科鲜明的本质特性。
顺应这种特性，数学教学也把“整体”“结构”等作为重要的研究方向。美国教育学家、心理学家杰罗姆˙布鲁纳(Jerome Seymorr Bruner)认为：“学生对所学材料的接受，必然是有限的。怎么能使这种（有限的）接受在他们以后一生的思想中有价值？对这个问题的回答是：不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”“掌握学科的结构以理解这个学科，可以使许多其他的东西与该学科有意义地联系起来。简而言之，学习结构就是学习事物是如何联系的。”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程设计思路中明确要求：“为了体现义务教育数学课程的整体性，本标准统筹考虑九年的课程内容”“充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质”。课程标准研制专家组在解读课程标准时也提及：“我们的课程应当使学生真正感受到数学内容本身所具有的‘整体性’——数学是统一的，许多不同内容之间存在着实质上的联系，包括内涵与方法。这样的感受有助于学生正确地认识数学的价值、理解数学的内涵，形成应用数学解决问题的能力，发展自身的认识能力。”
在这种方向的指引下，小学数学整体建构性的教学研究可谓是层出不穷。马立平博士在《小学数学的掌握和教学》一书中，系统论述了“知识包”“概念结”的重要价值，“在教一个知识点的时候，应该把知识看作一个包，而且要知道当前的知识在知识包中的作用。你还要知道你所教的这个知识受到哪些概念或过程的支持，所以你的教学要依赖于、强化并详细描述这些概念的学习。当教那些将会支持其他过程的重要概念的时候，你应该特别花力气以确保你的学生能将很好地理解这些概念，并能熟练地执行这些过程。”她通过中美两国数学教师的教学案例比较，特别提出：知识“打包”的正确方式不是固定的、严格唯一的。不同的教师，在不同的背景之下，或同样的教师对不同的学生，都可能以不同的方式将知识“打包”。
张卫娥老师针对“数学教材文本表达的局限性，许多数学知识之间的关系被隐藏、悬置、遮蔽起来，导致学生的数学认知被肢解、思维被固化、创造被弱化”等现实，指出：“知识体系”整体大于“知识体系”各部分之和，数学教学要用数学的“高观点”、学习的“长任务”、教学的“大问题”来将数学知识中相同或相似乃至相对、相反的意义模块进行统整、优化、组合，使得数学知识成为更具生长力的结构体。
董文彬老师则针对“开学第一课”怎么上，提出了让学生纵观全册教材，从整体上认识本学期数学学习的基本内容梗概；要在统合学习内容的基础上帮助学生把握知识结构，建立数学关联，立足发展儿童的整体思维，进而让儿童在课堂上成为数学学习的先行组织者。
特级教师庄惠芬进一步拓展视野，着眼儿童数学学习的三个重要关键期：第一个是“心理敏感期”，即幼儿园与小学衔接的学习关键期；第二个是“成长马鞍期”，即小学三、四年级数学学习关键期；第三个是“学习断层期”，即小学与初中衔接的数学学习关键期，确立整体学习的教育思想，树立儿童数学学习的整体观念。
特级教师张宏伟提出“全景式”数学教育主张，从内容全景、现实全景、方式全景、思维全景、历史文化全景、目标和评价全景六个方面，把培养儿童数学素养所必需的各方面内容融合到合适的网络系统中，尝试构建一种“大数学教育”，追求多元、完整地面向数学、面向世界，更好地指向儿童、指向全人，努力实现由“教孩子数学”向“用数学教育孩子”的真正转变，具有一定的开创性。
上述“整体建构”教学研究，对丰富数学教学实践，推进数学教学改革提供了宝贵经验。不过，总体上看，这些研究大多聚焦课例，少有宏大体系建设。相比而言，北京马芯兰老师教学法改革步伐很大，影响甚广。据1995年第5期《人民教育》“社论”所述：马芯兰教改经验的内容是非常丰富的,其实质可以概括为三个“中心地位”,即:在教材知识结构中,给最基本最重要的概念以中心地位;在形成学生认知结构中, 给数学思维能力以中心地位;在改革课堂教学结构中,给学生的认知规律以中心地位。2002年，马芯兰教学法在北京市 24个学区（乡）127所学校所属的实验班进行第二轮推广，独立编写的能力训练实验教材以最基本的概念为核心，用整体的思想重新构建了小学数学的知识体系，在不增加学生课业负担的情况下，5年完成6年的小学数学教学任务。从1977年算起，马芯兰教学改革已经走过40多年，而今，也面临着如何与时俱进的新挑战。2017年5月，马芯兰数学“翼课程”教育思想研讨会在北京举行，“翼课程”立足信息时代学生的学习特点，以“互联网+”教育为启发，突出了对教材结构和知识结构的重组，将核心知识点研究透，录制成10-15分钟的一个个“专题课”视频提供给学生，实现了现代网络信息技术与教育教学的深度融合。
综上所述，对数学整体性结构性的认识并非什么新理论，开展数学整体建构教学也非全新的话题。但是，这一看似“老旧”的话题在当下有着十分重要的研究意义。
首先是教学现实不容乐观，“不少教师采用‘单课时’备课法，局限于就课备课。大多数教师重于对课时教材的细品，而疏于对整体背景的把握。尽管每节课都设计了详细的教学环节，但对于同一主题不同层次的知识教学缺乏内在沟通和衔接，导致教学一叶障目，教学活动肤浅断层，缺乏系统性、深刻性、联系性，知识整体性、连贯性和迁移性不强，不能将‘游离’状态的数学知识点链接成科学的数学知识结构”。这种单一性、颗粒状、碎片化、割裂式的教学现象可以说是十分普遍，不仅教学效果高耗低效，一定程度上也“增加”了学习负担。其次，新一轮基础教育课程改革在数学课程内容体系、目标要求等方面变化很大，如何更好地落实从“双基”到“四基”、从“两能”到“四能”的课程目标？如何让课堂和教学改革更好地顺应发展学生核心素养的时代要求？我们也必须对传统教学“提档升级”，赋予其时代意义。
二
所谓“整体建构”教学，简单地讲，就是基于数学知识的内在系统关联，通过结构化教学，帮助学生完善认知体系，发展思维能力，培育思维素养，进而更好地理解数学，爱上数学，轻松地学好数学。实施这样的教学，需要把握三个要点：
1.知识系统化。
数学知识具有很强的内在逻辑，是整体的，系统的，结构的。教材编写过程中，“螺旋上升”的编排原则顺应了儿童的认知规律，但也削减和“遮蔽”了数学知识的整体性和结构性。加上分学段、年级、学期、课时组织教学，很容易导致“只见树木不见森林”的教学现象出现。
要实现知识系统化，首先要对教材进行知识体系梳理。这一点看起来似乎并不难，因为大多数版本的教材组专家在配套的教学指导用书中，都有本套教材知识体系表，表中按照领域、年级、学期（上下册）列举出了所学知识点（稍显不足的是，小学数学老师只看到小学教材知识体系，初中数学老师只看到初中教材的知识体系，难以掌握整个义务教育阶段数学知识内容全貌）。当然，上述学习内容体系也只是一种简单的罗列，虽然有年级序列，彼此之间的关联性还比较缺乏，特别是数学思想方法、内隐性的思维逻辑层面的关联非常少，因而，其“点状”特征还是比较明显的。这也在一定程度上可以解释：为什么每个教师手上都有这样的教学内容体系表，很多人教学时却没有整体建构意识。
可见，要实现知识系统化，更为重要的是发现并揭示其内在的逻辑与关联。比如，小学生初步认识“可能性”，不少老师都把重点落在用“可能”“不可能”“一定”来描述事情发生的情况，结果一节课下来，学生虽然会做题了，但对可能性的理解还是模糊不清。究其原因，主要还是对“可能性”知识间的逻辑关联认识不到位。事实上，“可能”“不可能”“一定”这三个词语中，“不可能”“一定”都属于对确定事件的描述，“可能”用于随机事件（不确定事件）的描述，它们之间的逻辑关联如下：
很显然，如果教学时只抓住最后三个词，而不是将其置于整个知识系统中，并把这样系统做适当的呈现（课堂板书），让学生有所感觉，自然就会陷入“散点式”“割裂式”的教学困境。那如何才能有这样的系统认识呢？小学数学教师除了通过专业理论学习补上本体性知识缺乏这一短板，也可以看看初中的教材，做深入的了解。下文是江苏科学技术出版社出版的义务教育教科书八年级下册数学教材“认识概率”这一单元中的内容：
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件（impossibie event）。在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件（certain event）。必然事件和不可能事件都是确定事件。在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情就是随机事件（random event）。
【2019.11·上海·教学“可能性”】
这个案例表明，知识系统化的关键在于把知识点“连成线”“组成面”“构架体”（图中的8个箭头，很好地将系统性知识作了结构化的表达）。当然，从纯数学的角度看，数学知识之间似乎有一套比较严格的逻辑系统。但是，从学习的角度看，数学知识之间的逻辑系统又存在多样性、开放性。比如，现行小学数学教材中，有的版本是先学分数，再学小数，小数学习建立在分数基础之上；有的版本是先学小数，再学分数，小数学习并不与分数发生联系（当然，后续学习中还是要发生联系的）。再比如，教学分数，有些老师是从整数除法入手：6÷2=3，2÷2=1，1÷2=？。有的老师是从“份数”入手：一个蛋糕，平均分成2份，每份是多少呢？还有的老师从整数入手：3个饼，吃掉1个，剩下2个；再吃掉1个，剩下1个；又吃掉1个，没有了（0个）。然后引导学生思考，人吃饼的时候，是不是一口一个、一口一个呢？有没有比0多、又不足1个的情况？这些不足1个的“零头”，怎么用数来表示呢？于是，分数就“嵌入”到0、1、2、3……的整数体系中。
值得注意的是，对知识系统性的理解，不能只局限在纯数学概念层面来思考。多一些数学思想方法、数学思维的视角，可以在更高层面上建构知识系统。比如，一年级学习“9+4”，核心的算法是“凑十法”，学会了“凑十”，就可以迁移运用到“8+4”“7+4”等进位加法。二年级学习两位数加法，“58”跟哪个数相加最好呢？自然是“42”，因为58+42=100，核心算法是“凑百”，再往后还会碰到“凑千”（如723+277）、“凑1”（如0.75+0.25）等。从算法的角度看，“凑十”“凑百”“凑千”“凑1”都是不同的方法，但就其本质而言,都是“凑整”。显然，“凑整”是一种更加上位、更具统摄性、更有扩展性的数学思维,用“凑整”来统摄“凑十”“凑百”“凑千”“凑1”……的教学，零散的知识就被“拎”起来了，课堂具有了“长程”眼光和穿透力，一节课上出了几年的跨度。
基于上述思考，近年来，我们尝试性的地创建小学六年十二册数学知识结构全景图（如下图），力求寻找不同领域、年段、年级、分册各知识内容间的内在逻辑关联。
上述图谱，除了呈现每个知识内容的年级分布（从左向右，以色块区分）和所属领域板块，更重要的是通过虚实粗细的线条、箭头、注解、图标等揭示其内在关联，比如，“图形与几何”领域的“长方形和正方形的周长”与“长度计量”相连接，而“长度计量”又与“整数认数”中的“十进制”连接；“长方形和正方形的面积”与“面积计量”相连接，面积计算又和“数与代数”领域的“乘法”连接。而无论是长度计量，还是面积计量，或是体积计量、角度计量、时间计量……所有的计量方法都是相通的，那就是“计量板块”横线上写的9个字：定标准；去测量；得结果。再比如，小学各年级都涉及到“统计与概率”领域内容的学习，涉及到统计方法、统计图表、统计分析等，编排了10个单元、20多个例题、50多个课时，但是，“统计与概率”的核心归根结底就是一个：用数据来“说话”（通过数据的研究来解决实际问题），各年级所学习内容，无非是这一核心的具体分解——数据的搜集、整理、描述与应用。
这样的全景图，有“宽度”，有“深度”，也有“贯通度”，可以用八个字来概括：“一体”（六年十二册合为一体），“二核”（数与形）、“三主”（认数主线、图形主线、统计主线）、“四附”（代数初步、问题解决、量与计量、探索规律）。这幅图，是我校60多位数学教师用两个多星期集中研讨的成果，虽然还有瑕疵，有待慢慢完善，但它原创性很高，特别是所有老师在研究过程中，都对数学知识体系化有了更深层的认识，尤其是随之带来的教学行为的改变，课堂品质的提升，令人欣喜。
总之，知识系统化的核心是整体与关联。基于不同视角、不同理解的整体与关联，会让数学的世界变得更加美妙，给数学教学带来了无限的创造空间。
2.教学结构化。
邱学华等老师在解析“2018年小学数学教育热点问题”时，专门提到结构化教学：“毋庸讳言，我们的教育正面临着一个巨大的危险因素，那就是碎片化的教与学。大量事实表明，沉溺于碎片化的学习，将会一步步毁掉学生的深度思考能力。对数学教育而言，结构化教学正是我们急需的一种应对利器”这样的论述，不仅再一次指出长期存在的“碎片化”教学弊病，更站在核心素养时代高度，更对结构化教学改革充满着深深的期待。
结构化教学也好，教学结构化也好，其关键是将“结构化”的理念融入到教学活动之中，“充分依据结构、生成结构、拓展结构，发展结构思维，培育数学素养”；要“遵循数学知识内在的逻辑机理，通过结构化的长程设计、模块式的意义重构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构以及获得知识的方法结构，使原本镶嵌在教材丰富背景下的散点知识凸显出来，进而以结构关联的模型保存在学生的大脑皮层，在后续的学习中便捷、有效地提取与转化。”
⑴系统化的知识，需要有结构化的表达。
所谓“结构”，《现代汉语词典》的解释是“各个组成部分的搭配和排列”。个人以为，它包含三个关键要素：元素、关联、整体。以一年级“认识人民币”为例，元素——人民币的三个单位“元”“角”“分”，关联——三个单位之间的三组关系（元与角、角与分、元与分的进率），整体——元素及关联所构架出的全貌。以下两种形式的课堂板书，都对上述三个方面有所表达。但稍作比较，右边的板书结构感更强一些，内涵也更丰富一些。它不仅改变了左边板书中元素和关联“散点”状态，而且把10、10、100这三个进率所表示的双向关系表达得清楚明白。理论上，“=”也表示双向关系，但对于一年级孩子而言，从“1元=10角”中建立起“10角=1元”的认识并不容易。而右侧的三个双向箭头，倒是把这层含义表达得清晰形象。不仅如此，上面两个10，下面一个100，给学生以强烈的视觉冲击，把三组关系有机统一，很好地体现出数学的逻辑性和严密性（“10个10”就是100），这对后续长度、质量、面积、体积等计量单位的学习，以及数学知识系统梳理都有很好的启示作用。
由此可见，在关注元素和关联的基础上，多用箭头符号来标注联系，不失为教学中体现整体性、结构化的好办法。当然，这种板书变换还只是把同样的内容做了不同形式的改造，文中提到的“可能性”的教学板书则更加创造性，它突破和超越了教材编排的文本内容，实现了更为宏观的整体建构。当然，板书中的单箭头，也都具有双箭头的含义，或者不画箭头只是以弧线来连接，同样表达彼此间双向关联。需要补充说明的是，“随机事件”和“确定事件”之间用虚线连接，意在表达二者之间看似不同，但在一定条件下是可以相互转换的（比如，把硬币的反面也做成正面的图案，把“三色转盘”变成“单色转盘”，那就把随机事件变成了确定事件，反之亦然），“不可能”下面的虚线箭头，意在与“可能”情况加以区分，一实一虚，一显一隐，相依并存，给学生以辩证思维的启迪。更为重要的是，这个板书可以一直用到初中、高中、大学里“概率”等内容的学习——只不过基于这个大结构开展深化研究，比如，“一定”事件的可能性就是1，“不可能”事件的可能性为0，随机事件的可能性在0-1之间，确定事件可以看成是随机事件的极端情况，某个随机事件发生的可能性大小是由“发生情况”与所有“等可能情况”的占比决定的……这进一步说明，基于整体建构的数学教学是可以实现“一节课上出几年的跨度”效果的。
四年级教学 “周期规律”，不少老师上课时黑板上几乎是空白，原因就是除了写上解决问题时的几道算式，实在不知道写什么更好。右图是我们的课堂板书，稍加分析可以看出，这个板书除了列举出知识层面的周期特征（每几个一组、按顺序排列、重复出现）、找周期的方法要点（圈一圈画一画、至少要研究两组等）、如何应用周期解决实际问题（确定任意一组、任意一个、计算总数等），还用概念学习的三大“追问”（是什么，从哪里来，到哪里去）来统领上述学习。最后的从“已知→未知”“有限→无限”是对“周期规律”学习意义的概括，既不是知识，也不是方法，而是思维的引导，是思想的升华。
古人讲：一部《论语》治天下。我想说，一张板书看课堂。眼界决定境界，思想决定高度！以结构化的方式呈现学习素材、思路、思考、体会、发现……课堂教学自然就会八面来风，风景独好。
⑵重视“经验的改组或改造”，促进认知结构化。
促进儿童认知结构化是教学结构化的关键要义。杜威认为，教育就是经验的改组或改造。既然是“改组或改造”，就需要关注基础，重视过程，着重变化，在动态中发展，在发展中生长。这种并不算“新鲜”的理论，一旦与结构化教学实践相结合，就会有蓬勃的生机，绽放出千姿百态。
比如，三年级学习“年、月、日”是在二年级学习“时、分、秒”之后第二次学习时间单位。以下教学流程，比较好地体现了结构化学习的特点（图示为板书演变）：
①从“记忆中不同寻常的日子”聊天开始，引出“年”“月”“日”三个时间单位。回忆过去学习时间单位“时”“分”“秒”的经验，提炼出“关系”和“时长”这两个关键点。
②联系先前的学习，思考可以从哪些方面来研究年、月、日？然后结合生活经验、合作探究，揭示相互间的关系（12，31、30、29、28，24，365、366等），再说一说从什么时候到什么时候，经过的时间就是“1年”“1月”“1日”）。
③将时间单位与已经学过的人民币单位、长度单位、质量单位等相比，进行总结提升，完善结构，引导学生发现和感悟：在各种计量单位系统中，时间单位之间的关系是最复杂的，原因是它与大自然、历法等众多因素有关；虽然它们之间很不同，但又是相通的——任何计量单位的学习都要研究各单位的“大小”（量值）和彼此间的“关系”（进率）。
上述案例，融学生日常的生活经验、已有的认知基础、数学知识系统等为一体，基于生活又超越生活，基于知识又超越知识，利用整体建构带动思维发展。认知心理学告诉我们，经验的“改组或改造”具有多种形态，同化、顺应或二者并存都是可能的；同样，学生的认知结构也有多种形态（“个体差别”），认知结构化的途径和方式也应该有多种，由此，教学就有了丰富多样性。
⑶合“纵”连“横”，理顺教学结构。
整体上看，教学活动是三“性”合一：即学科的“特性”、儿童的“天性”、教师的“个性”。其中，教师的地位和作用举足轻重。因为，教什么，怎么教，要达成怎样的效果等，老师具有主导权和决策权。落实教学结构化，离不开构建清晰完整的教学结构（或课堂结构）。
依据时间的一维性，人们习惯于按照线型结构来组织教学。传统的“五步教学法”（复习铺垫-引入新课-习得新知-总结概括-巩固提升），就是时间进程与认知过程相结合的一种教学结构类型。虽然这种结构类型至今十分常见，但随着信息时代的到来，素养为本、能力为重的教育呼声加大，这种教学结构的弊端也愈见显现，“先学后教”“边试边学”“学用结合”等新教学理念不断兴起。我们曾尝试进行“发现问题-提出问题-分析问题-解决问题-产生新问题”的“新五步”课堂结构探索，抓住学生的好奇心和探究欲，在质疑、析疑、解疑、生疑的螺旋发展链条中完成学习任务。我们也曾以数学思想方法为轴心，倡导低年级课堂向高年级穿越，高年级课堂从低年级的学习起点开始，实现一节课上出“六年的跨度”（甚至更长远的影响力）。这些探索都取得了比较好的效果。
好的教学结构首先要层次清晰，目标明确，逻辑严密。同一类知识的教学有着类似的推进过程，例如，探索规律的教学一般都按“发现猜想-验证猜想-归纳概括-反思完善”的过程运行；认数教学一般按照“材料感知-认识新数-巩固新数-运用新数”的过程推进；运算教学则一般按照“提出问题-探索算法-理解算理-归纳法则-内化算法”的过程展开。认识到这种过程性结构的存在，就可以从起始内容的教学开始，不断地提炼、比较、呼应，引导学生主动迁移和应用这一过程结构，并在自主学习的过程中转化有效的学习策略。
次要贴近学生，激活思维，促进发展。数学学习的根本价值在于不断地完善认知结构、丰富学习感受、发展思维能力。以三年级“间隔排列”的教学为例。本课教学的重点是引导学生从数量关系的角度探索并发现“一一间隔排列”现象中蕴含的简单数学规律。用整体建构的观点看“间隔排列”的教学，我们形成如下思考：①借助摆两种不同颜色圆片的活动，让学生发现“一一间隔排列”有“两端不同”和“两端相同”这两种情况；②分类研究这两种情况，得出：两端不同时，两种物体数量相等；两端相同时，两种物体数量相差1，寻找数量之间的特征，都可以用“一一对应”的数学思想方法；③通过将“两端相同”的情况增加或减少圆片变成“两端不同”，让学生直观感知这两种情况在一定条件下是可以互相转换的，从而打通二者联系，渗透辩证统一观念。三大教学环节之间通过“经过刚才的探索，你发现了什么？”“经过刚才的探索，你又发现了什么？”“经过刚才的探索，你还发现了什么？”的三次追问，把“间隔排列”的类型、数量特征、数量关系背后的数学思想、两种类型之间的辩证统一加以强化，在思维“爬坡”中进入到数学学习的理想境地。
总之，教学过程既是数学知识从少到多，从简单到复杂，从单一到组合的横向拓展过程，又是数学思考从现象到本质，从分离到整合，从直觉感受到深刻领悟的纵向提升过程，合“纵”连“横”，这立体的坐标就能让课堂“向四面八方打开”。
3.思维“自能”化。
数学是思维的体操。数学学习离不开思维，但更重要的是，引导学生在学习活动中切身体会思维的力量并最终成为“思维的主人”。郑毓信教授指出：“我们应始终牢记这一点：数学教育的基本目标是帮助学生学会思维”“数学教育的主要使命：我们应当通过数学教学让学生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聪明，即应当努力促进学生思维发展和理性精神的养成。”
那思维发展最理想的状态是什么？或者说，思维发展到“登峰造极”的表现是什么？我以为，就是形成思维习惯，即未经任何提示，自然而然流露出来的、具有“自觉能动”特征的思维能力。好比一个小孩一见到你就主动跟你问好，而不是在别人提醒后才跟你打招呼。这样的思维发展佳境，不妨称之为“自能”化。因此，“数学学习不能停留思维方式方法的简单使用上，而要突出学习者的主体自觉、自发、自为（自动而为），增强对更加上位、更加统整、更具‘超能’的较高水平的思维品性、思维品质、思维品格的培养。”
思维走向“自能”化，并不是几节课、一两个学期、一两年就能“修炼”成的，而是一个长期的、不断累积进而逐渐从量变到质变的过程，需要多次、反复的、长期的学习引导、点拨、感化才能逐步逼近我们期望的目标。从日常教学的角度来看，要迈向这样的目标，需要把握以下四个要点：
一是“看得见”，即多用“直观”的方式呈现知识结构。我们“首先应当记住，直观性——这是年龄较小的学生的脑力劳动的一条普遍原则。唐˙季˙乌申斯基曾写道，儿童是‘用形式、声音、色彩和感觉’思维的”。上文提到的“一张板书看课堂”，实质上就是借助于板书的视觉效应，增强学生对结构关联的敏感性，进而带动思维向更高层面发展。跟传统教学相比，这样的板书，除了知识要点外，还要适当提炼出蕴含其中的数学思想方法等；除了尽可能让学习过程“留痕”外，更要突出关联，体现整体感。当然，“直观”的方式是丰富多样的，生动的故事情境、形象的图形画面、动态的视频录像、自主的操作活动是“直观”，学生在学习过程中为解释说明所学所得而举出一个生活事例，打一个比方，做一番演示，绘制一张图表等等也是“直观”。此外，我们要牢记：“直观性的目的绝不是为了整节课抓住学生的注意不放，倒是为了在教学的某一个阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律性上去”。
二是“说得清”，即能用语言（也包括图解、符号、文字、演示等）将学习和思考表达出来，进行“数学地谈论”。表达的过程，是对自己的思考再一次审视、修正、完善的过程，也是互相接纳、取长补短的过程。比如，在学习“1千米=1000米”时，有学生认为，“千米”中有一个“千”字，所有1千米=1000米；而有学生认为，从已经学过的四个长度单位“毫米、厘米、分米、米”相邻两个长度单位之间的进率都是10来看，“千米”和“米”之间可能还有其他的长度单位（“十米”“百米”，课本中没有这两个长度单位）。两种想法都基于某种“理由”，但两者相比较后，学生则感觉后者的“理由”更加充分，逻辑层次水平更高，于是，从“毫米”到“千米”之间的十进制的长度单位体系就建立了。值得一提的是，在教学时出现“十米”和“百米”，并不表示要求学生掌握和应用它们，而是借助于它们可以让学生更好地理解数学的严密性、逻辑性、结构性。
三是“理得顺”，即能将多个元素、多种关系之间的逻辑关联理顺畅了，避免出现错位、错乱和错误（比如，把“一定”“可能”“不可能”看成是并列存在的三种事件）。当然，由于数学知识内在的结构关联具有多样性，这里的“顺”，在很大程度上是基于儿童、基于教材、基于课堂、基于数学的。比如，刚开始学习长方形和正方形，为了让低年级学生更好地掌握这两种图形的特征，有必要将其视为两种不同的图形。但是，随着学习知识量的增加和思维发展水平的提升，则需要逐步建立“正方形就是特殊的长方形”的认识，二者之间的关系也从“并列”关系转为包含关系。在小学里，加法和减法是“水火不相容”的两种运算方法，但是，初中学完有理数减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）后，减法就可以视为一种特殊的加法了。此外，一个内容的学习，除了知识获得，还有过程与方法、情感态度价值观的目标，知识维度、方法维度、思想维度等往往是交织在一起的，如何在更宽泛的视野、更高水平上帮助学生理顺关系，则需要教师有更深厚的学养和更加高超的教学智慧。
四是“悟得透”，即让学生在感悟中慢慢懂得数学是怎么回事，数学学习是怎么回事，进而能轻松地学习数学，喜欢数学，乃至于整个人也成了“数学”。为此，课堂上要多花时间让学生进行深层的思考与交流，在反思中领悟数学的真谛，走向学习的自由王国。下图是“探索规律——和与积的奇偶性”教学板书，卡片上的内容是对“和与积的奇偶性”的规律揭示，十几个箭头将各个规律之间的关联表达得十分清楚，“通”“透”二字则是本课学习带给学生最深刻的感受。从以下学生的课后感言中，我们不难体会到他们领悟之深。
学生1：我知道了只要从偶数＋偶数=偶数出发就可以变成其他复杂的式子，从两数之和就可以变成多数之和、两数之积……。我还学到了举例研究的方法，从举例、到猜想、到验证，再到结论。（储心怡）
学生2：学数学，不是只经过举例就得出结论，是通过举例→猜想→验证，才得出结论，中间的过程不能少。学数学，就是把复杂的化简单，把简单的变得更简单，但中间一定是有关系的，不管怎么边都是由原始的扩展下去的。所以，数学要学“通”，也要学“透”。（徐佳程）
学生3：通过学习，我明白了：要求积的奇偶性，就是要想和的奇偶性，而在所有和的奇偶性当中，偶数＋偶数=偶数是重中之重。在研究的过程中，我们是从最简单的想起，当我们研究得通了透了以后，才发现复杂的东西也会变得如此简单！我爱上了数学！（王诗雅）
学生4：我记得许老师有一句话说得特别好：“比谁数学学得好，就比谁脑子里的箭头多”。的确，这些箭头表示的是概念和概念之间的联系。能把各种复杂的概念最终跟一个简单的概念建立联系，或由一个简单的概念能联想出一些复杂的概念，也是一种数学人必备的思维能力。我们作为小学生，应该训练自己的这种思维能力。（罗笑妍）
上述案例带给我们这样的启示，思维发展走向高水平有三个重要过程（阶段）：入心、生长、外化。学习首先是自“外”向“内”的，但所有入内的东西需要在内心里不断地积淀和生长，等积淀和生长到一定程度，就会外化为一种近乎“本能”的意识和行为。正如布鲁纳指出：“我们应当尽可能使学生牢固地掌握学科内容。我们还应当尽可能使学生成为自主而自动的思想家。这样的学生，当他们在正式学校教育结束之后，将会独立地向前迈进”。因而，教学中，“我们不应泛泛地去谈及所谓的‘感受’‘体验’等，而是应当针对相关的活动具体地去进行指导，从而使学生真正‘学有所悟’”“也不应唯一地去强调学生对于数学活动的参与，而是应当更加重视对这些数学活动教学涵义的分析，包括通过事后的总结与反思”“使得‘总结和反思’（包括‘批判性反思’）成为学生的自觉行为”。当学生反思建构能力越来越强，结构化思维水平会越来越好，自动化程度也会越来越高，长期发展下去，他们就能将之自觉地主动地应用到其他学科的学习领域，应用到日常生活领域，应用到人际交往领域，应用到从未有过的问题解决。若能这样，我们就可以说，他的数学素养就真正形成了，数学教育的价值真正地得以实现。诚然，基于整体建构理念的数学教学，会促进学生整体思维、系统思维、结构化思维的快速发展，但任何数学学习活动都是多种思维形式的结合体，逻辑思维、发散思维、理性思维、哲学思维、文学思维、艺术思维……相伴而生，共生共长。正因为此，郑毓信教授指出，与“帮助学生学会数学地思维”相比，我们应更加强调“通过数学帮助学生学会思维”。过去，我们提倡“为思维而教”，而今，我们更要倡导“为思维素养而学”。
推荐理由：指向整体建构的数学教学，遵从了数学学科“整体性结构性”的本质特征，顺应了数学学习“四两拨千斤”的内在需求，彰显了“育人为本”“素养为上”的教育教学价值。它是理念，也是行动；是思想，也是方法；是过程，也是结果。它是一次向教育“常识”、教育本质的回归，又是一次承载着新的数学教育使命的“再出发”。