量率融通 整体建构

——结构化视角下的“分数的初步认识”教学新探

江阴市祝塘中心小学  包永芬

摘要：小学数学中，分数作为对整数数系的首次扩展，学习分数及其运算对小学生数感的形成具有重要意义。三年级上册第八单元《分数的初步认识》是分数学习的基础，对后续所有分数知识的学习影响深远。本文基于整体建构，立足小学分数知识全局，从量率融通，建构整体初步认知；整体布局，建构阶段知识全景；紧抓联系，建构整体数系网络入手，尝试在源头处解决“量率不分”的教学难点。

关键词：量率融通  整体建构  结构化教学

一、问题呈现

分数是数系的重要扩充，在“数与代数”领域中，学生在认识完整数后先认识分数，再认识小数。而且在教学认识一位小数时，是以零点几就是十分之几来更好地理解小数的含义。分数作为整数数系的扩充以及整数与小数间的连接点，对于学生认知数系、形成数感具有重要意义。

然教材中呈现的分数均表示部分与整体关系这一层含义，即表示部分与整体的比率，偏重从“率”的角度让学生理解分数。这种呈现方式存在的问题是学生认识不到分数可以表示一个具体的数量，即无法像认识自然数那样来认识分数。所以在分数的知识领域，“量率不分”（如下图1）这个问题部分学生从开始接触直到小学毕业都没有完全解决。

二、成因分析

（一）重“率”轻“量”，导致学生认知偏差

教材的编排，从“分数的初步认识”到“分数的意义”一直在强调“率”，直到分数与除法才出现了“量”，如：在《分数的初步认识》中把１个蛋糕平均分给２个人，学生最真实的反应是每人得到１/２个月饼，反应是数量。而教材的处理却是将这个１/２作为分率，即每人得到这个蛋糕的1/2。所以从一开始学生就在这里对量率产生了纠结，教材重“率”，“量”的缺失直到五年级才进行弥补。这样分裂的教学导致学生对分数概念产生认知偏差。

（二）以“量”表征，导致学生盲点成难点

教材三年级下册“小数的初步认识”中（如图２），同时出现了“１/１０米”“１/１０”，这种表示“量”的分数在《分数的初步认识》的例题中从未出现过，是学生的认知盲点。那么图2中出现的“３/１０米”孩子能理解吗？此时学生脑子里对于分数的定义是停留在部分与整体的关系，以几份中的几份定义来理解，教材在前面回避了分数作为量的形式，而这里又直接以量来表征。那么这里的教学就导致学生在量率问题上进一步产生纠结，形成知识难点。

因此“量”“率”问题需要回归到源头上去解决，就是教师在引导学生初步认识分数时要先讲述分数表示具体数量这一层含义，再讲述分数表示部分与整体关系这一层含义，让学生认识到分数既可以表示数量，也可以表示关系，通过“量”和“率”的融通学习，学生可以对分数有更深刻、更充分的理解。

三、出路审视

（一）量率融通，建构整体初步认知

“量率融通”是指教师在教学分数概念时把对分数表示“量”与“率”含义的讲解接续起来。联系整数的认识过程，分数的学习也可以认为是一个从 “量”到“率”的过程：分数可以先表示一个数量，在学生知道分数可以表示数量后再引导学生理解分数还可以表示一个分率，即可以表示部分与整体的关系。

【教学片断一】：

导入：过去，我们已经认识了很多数来表示物体的数量，你能按要求画一画、说一说吗？

小明有1个饼，小红的饼的个数是小明的3倍，小红有几个饼？

师提问：小红是小明的3倍，小红有3个饼，这里的“3倍”“3个”一样吗？

生：3倍表示的是两个人饼个数的关系，3个表示的是小红饼的个数，不一样的。

师：小芳的饼只有小明的一半，你知道小芳有几个饼吗？

师：是的，不到 1 个、半个、二分之一个，整数不能表示，可以用分数表示， 1/2 就是一个分数。

接着，整体出现 4 组材料，分别是1个苹果的1/2，1把尺子的1/2，1米线段的1/2,1张圆形纸片的1/2，让学生思考这四组材料有什么共同地方? 有什么不同的地方? 让学生感受到分得的物体——1/2个苹果、1/2把尺、1/2米、1/2张纸是不同的，但是分得的物体都是原来的1/2。通过以上材料的运用，由分数量自然地过渡到分数率，学生在对比中慢慢触摸 1 /2 的本质。

保持内在的一致性，才能让学生真正实现整体建构。“量率融通”的教学策略让学生从认识数量到认识关系，按照认识自然数的逻辑顺序认识分数，利于学生实现正迁移。学生在生活中描述某个不完整的物体的数量时通常会带上单位，如“半个蛋糕”，以“量”入手引导学生认识分数与其生活经验相一致，让学生经历从经验到数学的过程，从整体认知入手初步构建分数概念的雏形，这样的教学方式让学生形成自身的认知结构并实现生长。

（二）整体布局，建构阶段知识全景

“整体建构”旨在将系统化的方式将知识点整合起来，形成一个全面的知识体系，它强调知识的系统化和结构化，这点恰好符合数学知识内容本身的整体性和系统性。它正好能把知识“连成线”“组成面”“构架体”，将知识进行结构化表达，解决了由于教材的分册编写和分课时教学导致的知识整体性分散隐蔽、知识点游离的问题。整体建构教学着眼于整体布局，让学生建构完整的阶段知识全景图。例如教学分数时，需要意识到分数起源于不能精确测量，原来的计数单位“千、百、十、一”太大，需要一种更细的、新的计数单位，因此才有了“二分之一、三分之一、四分之一……十分之一、百分之一”等。不同的是：整数的计数单位是固定的，而分数的计数单位是具有相对性的，如５/６的计数单位量是１/６、５/７的计数单位是1/7等等，通过计数单位的联结，使分数这个概念纳入原有的整数认知体系，从而形成完整的知识结构全景图。

【教学片断二】

（1）任务驱动，体验分数单位作为计量单位。

师：把1个圆进行平均分，你能找到哪些分数？

生1：把一个圆平均分成4份，每份是这个圆的1/4,

生2：把一个圆平均分成4份，2个1/4就是2/4,

生3：把一个圆平均分成4份，3个1/4就是3/4，

生4：把一个圆平均分成4份，4个1/4就是4/4了。4/4就是1整个了。

生2：把一个圆平均分成5份，每份是这个圆的1/5,2个1/5就是2/5,

……

（2）整体性沟通，感悟数系度量本质。

师：这么多分数有什么内在联系吗？

生1：其实这些分数都是由几分之一叠加出来的。

师：今天学的分数的分数单位和以前学的整数计数单位有什么联系和区别？

生2：分数单位和计数单位都是表示数的大小，其实是一样的。

师：是的，（如下图）看2个10叠加起来就是20，2个1叠加起来就是2,2个1/4叠加起来就是2/4,2个1/5叠加起来就是2/5.

生3：分数单位是不固定的，整数的计数单位是固定的。

师：整数的计数单位是“千、百、十、一”等，而分数的计数单位有很多，如“二分之一、三分之一、四分之一等等”，

基于分数的本质，通过结构化的材料设计整体性建构引导学生经历分数单位的产生、并与整数进行联系与区别，从而整体构建整数、分数的知识结构，并为以后学习小数铺垫。

（三）紧抓联系，建构整体数系网络

建构主义认为知识结构是围绕关键概念而构建起来的知识网络结构，这一观点强调了知识间的内在联系和相互作用在学生建构过程中的重要性。因此在教学过程中需要紧抓联系，在学生已有的认知基础上进行结构化教学，从结构化的角度来把握知识本质，以整体关联为抓手实施教材重构与教学重建，让学生对新知进行同化和顺应，也就是吸收新知并将其纳入现有的认知结构中，从而形成更为完整、全面的知识网络结构。

（1）教材重构，将散状知识向结构统整转变

教材重构是基于知识整体单元的发生发展，而且要顺应学生的认知规律，对知识点之间的关系有本质性的理解，对知识点的动态发生、发展、融合有所领悟，从而对所学知识形成认知结构。例如执教“认识几分之一”和“认识几分之几”两课，教材的编排是将它们划分独立课时，先认识几分之一和比较几分之一的大小，再认识几分之几和比较几分之几的大小，这样的编排不利于学生整体认识分数，在比较分数的大小时也容易发生混淆。此时我们从整体上重组教材，将认识几分之一和认识几分之几整合成1个课时，并与整数系进行联系与沟通，这样不仅可以突破教学上的难点，还打通了知识间逻辑关联，凸显概念的一致性与系统性。

（2）教学重建，将线性推进向整体建构转

整体性呈现问题是整体建构的重要策略与实施路径，将问题置于比较情境之中，学生对数学问题能够主动辨析、比较，体会知识之间的联系，从而将相关知识点能动地纳入学生原有的认知结构中，有助于培养学生串式思考、网状思维能力。

学生对１/4、3/4的比较大小产生多种研究方法，面对多样化的生成性教学资源需要教师引导学生沟通语言文字与图、图与算式的联系，从意义上理解比较本质，进而将分数比较与整数比较进行沟通，理解两种数的比较实质上都是计数单位的多少的比较，通过整体呈现教学资源与问题，让学生在求同存异中思辨知识间联系，将新知纳入原有认知体系，形成更完整的认知结构。

学生“分数”概念的形成不是一蹴而就的，它是一个逐步深入、螺旋上升的过程。在教学过程中应重视学生概念形成的整个过程，从结构化的角度入手，紧抓整数、分数的联系，以此为生长点实施教学，让学生在新知与已有知识经验的冲突联系处做到顺应与同化，发展数系结构，实现学生思维的“自能化”，让数学学习主动有趣。

［参 考 文 献］

［１］张奠宙，孔凡哲，董建弘，等．小学数学研究［Ｍ］．第１版．北京：高等教育出版社，２０１０：７８．

［2］郑毓信．“数学深度教学”十讲之五：思维的深刻性与“联系的观点”［Ｊ］．小学数学教师，２０１９（１２）：３０－３２．

［3］许卫兵．小学数学整体建构教学：数学结构化教学的价值指向［M］．上海教育出版社，2021:47-102.