推荐理由：

数学理性精神，重在有理有据地进行数学表达，教学中要积极创设环境与条件，让学生充分经历论证的过程，鼓励学生去寻找论据支持或反对数学命题的有效性。数学实验研究，要从学科教学走向学科育人，那么，数学的学科育人价值有哪些？教师应该如何实现学科育人价值，尤其是培养学生的数学理性精神呢？宋煜阳老师的“三角形内角和”一课，就为寻求论据支持进行说理的训练提供了很好的机会。

 

正文：

修订版的普通高中数学课程标准指出，“普通高中教育是在义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育，任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教育和职业发展作准备，为学生的终身发展奠定基础。”“学生的终身发展离不开良好的思维品质，特别是理性思维和科学精神。”“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。”“促进每个学生的终身发展，数学课程承担着独特的价值和贡献。”把这些课标指导语联系起来，至少可以获得两方面的启示：一方面，明确了理性精神是数学课程在促进学生终身发展中独特价值体现的标志，是数学各学段教学的重要目标；另一方面，明确了数学理性精神培养是一个系统工程，它根植于义务教育、发展于高中教育，作为启蒙阶段的小学数学教学必须承担相应的教学任务与责任。

那么，在小学数学教学中如何让数学理性精神的培养落地呢？高中新课标特别强调的“把握数学本质”“注重主题（单元）教学”“重视情境创设和问题提出”就为教学提供了思路。因为，数学本质的内涵包括了数学知识的内在联系、数学思想方法的提炼、数学理性精神的体验等，需要立足整体教学，通过适切的问题、情境来寻求知识本源和内部联系，深入浅出地刻画数学本质，帮助学生养成重论据表达、有条理思考、合乎逻辑质疑与讨论的思维习惯。下面结合几个课例的讨论分析，谈谈自己的理解与体会。

一、寻源：学会有逻辑地思考

课例1：交换律中的等号是如何划上的？

张奠宙、戎松魁教授在《正本清源,通过“数数”活动理解运算律——关于加法和乘法交换律的讨论》一文中，从学理角度对人教版教材的加法交换律和乘法交换律进行了深入浅出的评析。文中指出，“现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5+6=6+5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。”“如果用‘数数’学习加法交换律，就非常明白易懂。”，观点表明运算律的探索不能只停留在举例归纳，需要借助数数活动在运算的本质意义上进行理解。

我们回到加法交换律的例子“5+6=6+5”来讨论。教材中验证“5+6=6+5”的逻辑思考路径是“因为5+6=11，又因为6+5=11，所以5+6=6+5。”，并没有从“为什么5+6=11”“为什么6+5=11”这个加法运算的源头进行解释。加法的本质是接着数数，“5+6”是先数到5，再往后数6个数，可以到达11；而“6+5”是先数到6，再往后数5个数，也可以到达11，从而检验发现“5+6”和“6+5”结果为同一个数11，所以两者相等。这种用数数的方法，检验等号的左右两边是否为同一个数，在数轴上表现为是否为同一个点。

需要思考的是，该如何创设数数的情境逼近加法交换律本质的教学呢？教学中，我创设了小袋鼠跳格子、数钱、数小棒等一组情境，采用数线模型来直观感知“等号的左右两边为同一个数（数轴上为同一个点）”，然后通过看图找等式、独立举例的练习加以跟进，展开验证猜想的过程。

教学片段（一）

师：小袋鼠聪聪和明明正在跳格子比赛（出示图1），从图中你知道了哪些信息？

生：聪聪先跳了2格，又跳了5格；明明先跳了5格，又跳了2格。

师：比赛结果如何？

生：一样的。聪聪跳的格数是2+5=7，明明跳的格数是5+2=7，都是7格。

师：我们让小袋鼠跳一跳，大家一起来数一数它们跳的格数。

动画演示，得到图2。组织学生边观察边数数：聪聪的格数先数到2，再往后数5个数，跳到7；明明的格数先数到5，再往后数2个数，跳到7。它俩都跳到7同一个位置。

图1

图2

指出，因为2+5和5+2的数数结果都在7这个同一个位置上，所以2+5=5+2。

师：仔细观察2+5=5+2这道加法算式，你发现了什么？

生：加数2和5交换了位置，和不变。

动态出示图3，观察讨论：从左往右数，一共多少元钱？从右往左数，一共多少元钱？有交换律的现象吗？

图3

图4

出示图4，独立思考：数一数，写一写，在小棒图中能找到交换律的现象吗？

梳理跳格子、数钱、数小棒等图式，组织讨论：你觉得交换律可能是怎样的规律？

生：加法里，交换两个加数的位置，和不变。

师：准确地说，交换2和3、150和300、35和20的位置，和不变。是不是交换任意两个加数的位置，和都不变呢？我们该怎么研究呢？

生：可以再找一些例子，算一算、数一数，看看交换加数的位置后和是不是不变的。

提供学习单，要求学生看图数数寻找等式（图5、图6）、自己独立写等式并在数线上数数和标注箭头。

图5

图6

教学片段中，首先通过富有童趣的跳格子情境，引导学生将加法运算“退”到数数，借助数线直观感知“同一个数在数线上表现为同一个位置（同一个点）”；其次通过数钱、数小棒两份材料进行扩充，进一步体会数数的验证方法；最后是给出图寻找等式、自己写等式，对数数方法进行巩固，有效落实举例验证活动。数数活动，不仅在本源上理解了加法交换律的存在性，而且很好地规避了该课学习中容易出现的假验证现象（学生没有验算就在两道加法算式之间划上等号）。

关于乘法交换律，可以溯源到二年级的“乘法的初步认识”一课。针对人教版教材的编排（图7），张奠宙教授认为“这里用了一个“或”字。就把“7个2相加”和“2个7相加”两个不同运算过程等同起来了。可是，乘法交换律只说交换乘数次序相乘之后其结果相同，没有说这两个过程相同。它的错误，正好像说一头羊和一头猪都重50千克，就说这头“羊”是一头“猪”，有悖常理。”；

戎松魁教授则提出质疑，“既然教材中把‘2×7’与“7×2”说成是一回事，那么对于大于1的整数 a 和 b 而言，a×b 和b×a 也是一回事。a×b=b×a 就是自然成立的，连验证都可以省去。这样一来，乘法交换律还有意义吗？还能称为‘数学定律’吗？”。

图7

图8

在“乘法的初步认识”学习中，学生很难区分“2个7”和“7个2”，主要有两方面原因：一是“7个2”为什么可以写成“2×7”或“7×2”没有作出解释，导致学生将2个7和7个2意义混为一谈；二是没有充分经历数实物、数加数个数等数数的过程，与乘法算式记录“数的结果”缺乏对接导致过程、结果不相称。为了破解这个教学难点，我们可以先选择一个情境只适用于一道乘法算式表示的材料，等学生单向理解几个几含义后，再出示图8的开放题，让学生在双向角度观察、数数等活动中建立逻辑关系。

教学片段（二）

师：这幅图（图8）中藏着乘法算式，请你圈一圈、写一写。看谁发现得多。

选取学生“4×10”“2×20”“5×8”“8×5”等作品进行反馈，确认乘法算式意义。组织讨论：“5×8”“8×5”是怎么数的？它们表示什么意思？又有什么关系？

生：5×8是一列一列地数，每列有5个，有8列，表示8个5。

生：8×5是一行一行地数，每行有8个，有5行，表示5个8.

生：它们只是数法不一样，数出来的结果是一样的。

师：是的，两种数法不同，算式的意义也不同，但数的结果是一样的。如果是10×4、20×2，你知道是怎样数的吗？

学生进行圈画、数数发现，虽然数法不同但数的结果相同。

上述数数的过程中，学生经历“因为可以从行或列去数，又因为数出来的结果相同，所以这幅图可以用两道乘法算式表示”的思考过程，从而帮助学生建立逻辑关系。

以往的交换律教学，我们很少从“交换律为什么存在”等学理的层面进行逻辑性的思考，而这恰恰是数学理性精神的重要体现。虽然数学证明对于小学生来说过于抽象，但我们可以通过直观的、生活化的证明方式帮助学生来理解数学本质，从而体会数学理性精神。

二、寻联：学会有系统地推理

课例2：平行四边形的对边互相平行该如何研究？

在人教版“平行四边形的认识”一课中，教材给出“研究一下，平行四边的边有什么特点。”（图9）的探究要求，探究的结论是“平行四边形的对边互相平行”“对边也相等”。学生利用工具得出“对边也相等”这个结论并不难，关键是学生如何来研究对边是平行的呢？如果要说明平行四边形对边是平行的，直观的方法是将其放入方格图加以判别，推理的方式则需要借助三角尺工具进行平行线判定说明。

图9

从推理的条件和学生知识储备来分析，判定对边是否平行的路径主要有两条。第一条路径是在一组对边之间画一条垂直线段，依据“垂直于同一条直线的两直线互相平行”进行判定。这一依据，编排在前面所学的“垂直与平行”配套练习中的摆一摆活动，要求“把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直。看一看，这两根小棒有什么关系？”。第二条路径是在一组对边之间画两条以上的垂线段，依据是平行线判定定理“如果两条直线之间的距离处处相等，那么这两条直线互相平行”。这一依据，在前面所学的“点到直线的距离”一课练习中可以找到出处。也就是说，利用三角形尺等工具来研究平行四边形对边平行，是具有推理的知识基础。

进一步思考，学生是否具备这两条推理路径的经验呢？回答这个问题就必须回到前面所学的“画长方形”一课（图10）。在学生利用三角尺多次垂直作出正方形后，必须组织讨论：画出来的图形对边真得是互相平行的吗？引导学生利用“宽同时垂直于长”“宽都是8厘米”这两个条件进行推理判定，积累经验。

图10

而“平行四边形的认识”一课教学，就只需要调用这一经验，从长方形迁移到平行四边形就可以了。

教学片段（三）

出示长方形，组织学生回忆：长方形有什么特点？

生：对边相等，四个角都是直角。

师：学习了平行与垂直，你觉得长方形还有什么特点吗？

生：对边互相平行，邻边互相垂直。

师：怎样说明这个长方形对边互相平行呢？

生：把它们的对边延长，看看是不是相交。

出示方格图，延长两组对边，直观演示得出两组对边互相平行。

去掉方格图，组织讨论：现在没有方格图了，又该怎样说明它的对边互相平行呢？

生：上下两条长都和宽垂直，所以这两条对边互相平行。

生：这两条宽都是它们之间的垂直线段，长度相等，所以这两条对边互相平行。

小结指出，判定两组对边是否互相平行，可以借助方格图直观判断；也可以画一条垂直线段，看两条对边是否都和它垂直；还可以画两条或两条以上垂直线段，看这些垂直线段长度是否相等。

将长方形拉成平行四边形，组织讨论：长方形变成平行四边形了，刚才“两组对边相等”“四个角都是直角”“两组对边互相平行”这些特征变了吗？

讨论得出，两组对边相等没有变；四个角不再是直角；两组对边互相平行没有变。

师：拉动过程中，四条边的长短没有发生变化，所以可以证实两组对边相等。两组对边互相平行又该怎么说明呢？

生；可以放到格子图里去延长看看。

生：可以画一条垂直线段，看看对边是不是都和这条垂直线段垂直。

生：可以画两条垂直线段，看看它们的长度是否相等。

提供探究单，学生独立解释说明。

“研究一下，平行四边形的边有什么特点”，看似只是一个教学环节，实质上蕴藏的是一个推理链系统学习、建立和应用的过程。为此，在前期学习中，推理条件的落实、推理方法的提炼、推理经验的积累，一个都不能少。这就需要立足整体教学，善于从数学内部寻找联系，逐步培养学生学会用数学的思维思考世界。

三、寻据：学会有依据地表达

课例3：该用哪些例子来说明三角形内角和是180°？

“三角形内角和”一课的教学价值并不仅仅是得到三角形内角和的结论，重要的是如何以此为载体培养、发展学生的论证意识和能力。前测显示，多数学生在课前已经知道三角形内角和结论，部分同学能够自己动手测量求和、借助三角尺度数推算、将长方形分割为两个全等直角三角形并根据“360°÷2”进行推断等方法来解释或说明这个结论，表明学生具有初步的论证意识与能力。本课的教学重心可以从“知道三角形内角和是180°”转向“该用哪些例子来说明三角形内角和是180°”。

教学片段（四）

师：关于三角形内角和，你已经知道了哪些知识？

生：三角形内角和是180°。

师：哪些三角形的内角和是180°？

生：所有三角形内角和是180°。

师：你们研究过吗？看来，还得在“所有三角形内角和是180°”后面打上问号。

组织学生讨论：该怎么研究这个结论？

结合学生想法指出，要研究三角形内角和是不是180°，就需要研究所有三角形内角和是不是180°，就可以研究所有直角三角形、所有锐角三角形、所有钝角三角形内角和是不是180°。

教学片段（五）

出示一副三角尺，讨论：这两个直角三角形内角和是180°吗？你是怎么知道的？

针对两个特殊直角三角形的已知内角度数，口算得出结论正确。

讨论：凭这两个直角三角形内角和是180°这个结论，可以说明所有直角三角形的内角和是180°吗？

通过讨论得出，直角三角形有许多个，不能凭这两个直角三角形内角和是180°而得出“所有直角三角形内角和是180°”的结论。还需要验证其他直角三角形内角和是不是180°。

片段四既是学习起点了解的过程，又是论证方法指导的过程。该怎样说明所有的三角形内角和是180°呢？只有在三角形“类”上实现完全归纳，才能证实这个结论，也即“因为所有的锐角三角形（直角三角形、钝角三角形）内角和是180°，所以所有的三角形内角和是180°”。片段五则是从个到类，从特殊到一般，经历不完全归纳推理的过程，体会得出数学结论的严谨性。

（本文发表于《小学教学（数学版）》2019年第12期）