基于经验，实现“算术”向“代数”的跨越

——小学“列方程解决实际问题”教学的思考与实践

江阴市澄江中心小学 吴静

【摘要】从“算术”到“代数”是学生思维上的一次重大飞跃，也是数学学习的一个转折点。受抽象思维水平和算术思维的定势制约，小学生代数思维的发展缓慢，很难形成列方程解题的意识和能力。教学中，教师要正确把握算术思维和代数思维的特点，基于学生已有的经验，找到算术和代数之间的“联结点”，通过经验加工、改造和重组等方式，逐步培育、生成和固化代数思维。

【关键词】经验 算术 代数 跨越

教育是在经验中、由于经验、为着经验的一种发展过程^[1]。一切教学问题的解决都需要从学生已有经验出发加以思考，并借由经验推进和发展学生的思维。针对学生列方程解应用题意识淡漠的问题，教师要积极沟通“算术”和“代数”之间的联系，通过对原有算术思维经验的改造，帮助学生跨越思维的障碍，从而培育和发展代数思维能力。

一、缘起：从一道习题说起

苏教版五年级下册第一单元《简易方程》的单元练习中有这样一题：一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少千米/时？

学生在没有提示的情况下独立解题，结果有约25%的学生用算术法解题。习题和例题的类型与结构相同，且学习列方程解决实际问题的过程中，没有受算术法的干扰，学生为什么不能主动想到列方程解题？为了能了解学生真实的想法，放学后把用算术法解题的学生叫到办公室面谈。

师：为什么不列方程解题，而要用算术法解题呢？

生1：我感觉算术法解题更简单一些。

生2：列方程解题步骤太多，算术法解题步骤少。

生3：对，列方程解题一定要写等量关系，算术法解题不需要。

生3：我还觉得用算术法解答想“关系”比较简单，列方程解应用题想“关系”有点难。

（其他同学频频点头，表示赞同）

师：能具体说一说吗？

生：不好说，感觉算术方法是根据已知条件一小步、一小步思考出结果的，但列方程解题要先想清楚所有的关系才行。

师：所以，你们觉得找等量关系是列方程解应用题的最大问题吗？

生：对。

师：和算术法相比，你们不觉得列方程解应用题思考关系会比较顺一些吗？

生：有点，但我感觉用算术法解题也还好。

师：如果题目没有要求列方程解，会选择用算术法解。对吗？

生（脱口而出）：是。

从学生不选择列方程解决问题理由的陈述中，不难发现，学生仍停留在算术思维的水平上，并没真正形成代数思维能力。而培育学生的代数意识，需要从打破“算术”和“代数”之间壁垒开始。

二、厘清：算术思维和代数思维的区别

要将学生从此岸的“算术”引渡到彼岸的“代数”，教师首先要了解算术思维和代数思维的区别，把握各自的特点。关于两者的区别，很多数学家都有过研究。笔者认为算术思维和代数思维主要区别有以下几点：

1.思维侧重不同。算术思维主要通过已知量的运算得出未知量；代数思维侧重于建立各种量之间的（相等）关系，是一种关系思维。

2.未知量地位不同。算术思维中的未知量不能参与列式，直到问题解决，才会露出“真容”；代数思维中的未知数是设定的、具体的，和已知数地位相同，可以直接参与列式。

3.过程的意义不同。算术思维解决实际问题的过程是含情境的、具有特殊性，每一步都具有特定的含义；代数思维解决实际问题是去情境的、形式化的，一旦将实际问题抽象为代数模型，每一个数量都不再具有实际意义。

4.解题路径不同。代数思维是以中间量为媒介，以结果为目标的直接求解过程；代数思维则采用“迂回战术”，其过程分为三个阶段：先通过去情境、引入符号将实际问题抽象为代数模型，再脱离实际情境进行抽象的代数运算并得出数学结论，最后再把结果还原到实际情境中去。

三、现状：“代数”思维发展受阻的原因

那么，学生在列方程解决实际问题的现状如何？他们遇到了什么问题？结合日常教学案例的观察和分析，笔者认为主要有以下3个问题：

1. 优势体验“被忽略”，思考方式难转变

与算术法解题相比，列方程解题有两个显著优势：一是侧重于顺向思考，更利于理解数量关系，避免了因逆向思考带来的错误；二是数学模型具有一般化的意义。只有在学生对列方程解应用题的优越性有深刻的感知和体验后，才能放弃算术思维而选择代数思维，实现思维的转变。从“我感觉用算术法解题也还好”中看出，学生并没有真正认可列方程解题思考关系比较“顺”这一优点。

2. 建模方法“被轻视”，代数敏感度缺乏

作为一种全新的思维形式，代数思维有其鲜明的特征，也有相应的、完备的解题策略系统。列方程解应用题的关键是正确找出题目中的等量关系。当学生具备了这个关键能力，那么就能自觉、快速地构建代数模型。反之，关键能力不稳定或存在缺陷，就会影响代数建模的速度和质量，使算术思维占上风并取代代数思维。以上习题，虽和例题类型、结构相同且在练习中多次强化，但学生依然选用算术法解题、甚至出现问题，可见学生没有形成的数学建模能力。

3. 算术经验“被丢弃”，思维生长受限制

算术思维和代数思维之间有区别，也有联系。代数是算术一般化和形式化的产物。对此缺乏一定的认知，看不到两者之间的关联，就容易把两种思维割裂。特别在小学阶段，算术思维是学生学习一切数学知识的基础，并且有整整四年的经验积累，如果没有算术思维作基础，那么代数思维就成了“空中楼阁”，随时有倒塌的危险，也不可能被学生悦纳。

三、探寻：跨越“算术”和“代数”界限的路径

教育就是经验的改造或改组，既能增加新经验的意义，有能提高指导后经验进程的能力^[2]。代数思维的形成可看作是改造原有算术学习经验的结果。教学时，教师要把握“算术”和“代数”之间的内在联系，促使学生实现新旧思维的跨越。

1.把握基点，建立符号表征系统，培育代数思维

引入符号，建立代数符号表征系统，是从算术思维过渡到代数思维的必备条件。教师要把握好代数符号教学的几个关键点，精心组织教学，帮助学生积累代数学习的经验。

（1）数量表达，从“阿拉伯数字”向“字母”抽象，重体验

用字母表示数是从“算术”迈向“代数”的关键一步，对于学生理解数学、发展代数思维具有十分重要的意义。教学时，教师要从具体数量入手，通过设置问题情境，引导学生逐步感受变量的思想，产生用字母表示数的意识。

如创设“数青蛙”的情境，通过说儿歌“（ ）只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿”中，使学生感受青蛙只数与嘴的张数、眼睛只数、腿的条数的不确定性以及各个变量之间的关系，随后提问“能不能用一句话概括所有的情况”，迫使学生进行数的抽象，产生用符号表达变量的内需。最后，就交流中出现的文字、字母等符号进行择优，实现数到字母的抽象。

（2）式的理解，将“算式”和“代数式”意义联结，重渗透

代数式（含有字母的式子）是联结字母和方程的纽带，决定着学生代数思维的品质。教师要从代数式的特点以及学生认知规律出发进行式的抽象，帮助学生形成符号化表达的意识。

虽然代数式是算式的一般化表达，但有着本质的区别。通常，算式重在表示的某种运算的过程；而代数式重在表示某个特定的数量，体现的是运算结果。因此，教学代数式要关注好两点：一是算式到代数式的抽象，二是经历“过程”到“对象”蜕变过程。

用算式表示数量。在解决实际问题时，有意让列综合算式解题。列综合算式时往往需要用某个算式表示特定数量，能帮助学生理解并接受式的对象意义。

用代数式表示数量。如红花a朵，黄花比红花多3朵，黄花有（ ）朵。教学时，先用1、2、3等具体的数表示红花的朵数，用1+3、2+3、3+3等算式表示黄花的朵数，再要求学生用一个式子表示黄花的朵数。有了一定的算式表示数量的经验积累，代数式的抽象就会更自然、轻松。

理解代数式意义。算式的结果可以通过计算得出某个确定的数，而代数式的结果是“不确定”的，因此，理解代数式表示某个数量的难度很大。为此，教师要将代数式具有“潜在的”赋值过程外显，使学生更好地理解代数式的意义。

（3）句意表征，变“文字符号”为“数学符号”表达，重转换

代数思维本质上一种数学建模活动。数学符号表征问题能力，对于学生建模具有十分重要的作用。前期教学算术应用题时，就要帮助学生养成用数学符号表达题意的能力。如教学“一堆沙，用了150千克后，又运来200千克，现在共有4200千克，原来这堆沙重多少千克？”，引导学生将题意进行符号化表达为“ -150+200=4200”或者“□-150+200=4200”等。

2.寻找契机，重建认知结构，催生代数思维

依据伯斯纳的“概念转变模型”理论推想，一个人要突破原有思维定势，由一种思维状态向另一种思维状态转变，需要对现有思维方式感到不满、并且充分认识到新的思维方式具有可理解性、合理性和有效性等特点。教学列方程解应用题时，教师要遵循认知规律，准确把握“算术思维”向“代数思维”转变的契机，通过设置认知冲突，帮助学生实现思维方式的转变。

（1）运用对比，感受原思维的不足

分析数量关系时，列方程解应用题由于采用的是顺向思考的方式，通常只需顺着题意思思考关系即可，关系得出比较简单；算术法解题时经常要进行逆向思考，经历先顺后逆的关系分析过程，由于思考过程比较复杂，常常导出错误关系。合理设计教学活动，组织学生进行“顺”、“逆”关系思考方式的对比，能帮助学生体会到算术思维的局限性。

为了能使学生有深刻的学习体验，可以跳过一步计算直接进行两步计算的应用题教学。首先，依次出示一组对比题：①小雁塔高43米，大雁塔的高度是小雁塔的2倍少22米，大雁塔高多少米？②大雁塔高64米，比小雁塔的2倍少22米，小雁塔高多少米？要求学生列综合算式解答，随后根据学生的作业情况进行提问“为什么第①题做得有对又快，第②题做得慢而且还出错？”“最根本的原因是什么？”学生通过比较和分析，明确两题思考数量关系时的难易度不同，即第①题只要顺着题意直接翻译关系句，而第②题需要基于顺向关系进行反推，进而对算术法解题中存在的问题形成较为清晰的认知。

（2）经验改造，跨越新旧思维的边界

认知平衡理论认为，原有观念不能很好地解决现实问题，需要通过调整和改造原有的认知结构以适应新情境，以达到新的认知平衡。根据这一理论，教师可以基于顺、逆思维对比，通过择优使学生产生“选顺排逆”的心理。随后，顺势而为，大胆提出假设“第②题能不能和第①题一样，利用顺向思考所得的关系‘小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度’解决问题呢？”以打开学生的思路，并追问“如果可以，会遇到什么问题？怎么解决？”促使学生利用先前的方程学习经验，想到“小雁塔高度未知，可以设小雁塔的高度为x米，列方程解答”。

从顺、逆思维体验到择优，再到对顺向思维的调整，学生在教师的引导下进行经验再造，逐步从算术思维走向代数思维。

（3）认知系统化，强化新思维的模式

代数思维除了便于找到数量间的相等关系（等量关系），更重要的是能构建一般化的数学模型，从而极大地拓宽解决问题的范围。教完例题后，教师要通过对原题的二次比较总结解题方法，帮助学生认识到“小雁塔的高度×2-22 =大雁塔的高度”这一顺向思考的结果具有普适意义：已知小雁塔高度求大雁塔高度，根据关系直接用算术方法解题；已知大雁塔高度求小雁塔高度，根据关系列方程解题。通过这样的对比反思，凸显了利用基本关系（顺向思考得出关系）解题价值，加深了学生对代数思维模式的认知。

3.聚焦核心，着力建模能力训练，固化代数思维

找准等量关系是列方程解应用题的核心，也是学生代数思维意识和能力形成的关键。教学中，要通过各种形式的训练，帮助学生掌握找等量关系的基本方法。

（1）从“整体”到“局部”，依托基本关系合理建模

代数思维是一种结构的、系统的思维。因此，找等量关系的本质是对数量之间的关系进行系统化的思考。对于学习能力比较弱且习惯分步解应用题的学生而言，要先整体再局部把握数量关系，比较困难。教学时，教师要引导学生建立起从“整体”到“局部”思考方式，从由简单基本关系入手，逐步构建数量之间的相等关系。

以习题为例，可将题目分两个步骤引导学生把握等量关系。①整体架构：出示“一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，相遇时客车行了285千米，货车行了多少千米？”，找出基本关系“客车行的路程+货车行的路程=总路程”；②局部细化：将两车行驶的路程用“时间”和“速度”进行替换，改为“一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，3小时后相遇，客车的速度是95千米/小时，货车的速度是多少千米/小时？” ，在原有基础上进一步用“速度 ”表示路程，将关系完善为 。

（2）由“内隐”到“外显”，借助图表实现可视化思考

对较复杂的应用题而言，如果能借助图表进行从局部到整体的关系训练，使思维过程可视化，就会取得事半功倍的效果。列表整理习题条件和问题如下：

建表时要注意两个问题：一是由速度和时间联想到路程；二是要标出隐蔽条件，如货车和客车行驶时间相等并用“=”表示，货车和客车路程和540千米并用“ ”表示。在此基础上，将表格中的未知数用字母或表达式表示。

掌握列表整理信息以及对表分析的能力，不仅能使思维可视化以降低抽象等量关系的难度，还能帮助学生养成良好的解题习惯，为进一步解决复杂问题服务。通常，题目中涉及两个以及两个以上的研究对象的复杂问题，就要通过列表整理信息并从中找到等量关系。对于有事情发展顺序的题目，则可用“变化图”表示。

（3）从“无法”到“有法”，积累常见的关系思考经验

方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两故事的数量相等^[3]。讲的是现实世界中的两个故事，两个故事中在某个地方的一个量是相等的。可见，找出实际问题中的等量关系是有“法”可依的。教学时，教师要有意识地引导学生经历找关系的过程，不断积累相关经验。

如遇到用方程解答含有2个对象的实际问题时，笔者会按“一辨、二理、三引”的原则引导学生建立关系。一辨，指辨别所求问题是否需逆向思考。通常，求和或差、求积顺向思考，其余需逆向思考。逆向思考的问题，则需要找等量关系；二理，从整体出发思考关系，再逐步细化关系，建立起“关系网”；三引，当遇到关系不好建构时，需要引入画图、列表或写“变化图”等辅助手段，使关系可视化、清晰化。

找等量关系的方法有很多，灵活使用能培养学生列方程解题的能力。代数思维的形成需要经验一个长期的经验积累过程，切忌教条式的、机械训练，尽可能避免断章取义式的看“和、差”等字词进行简单关系的思考。

从“算术”到“代数”是学生思维上的一次重大飞跃，也是数学学习的一个转折点。在列方程解应用题教学中，教师要正视学生学习中存在的问题，找准算术和代数之间的联系，帮助学生顺利跨越“算术”和“代数”之间的界限。

参开文献：

[1]杜威，我们是怎样思维·经验与教育[M].北京：人民教育出版社，2018.1

[2] 杜威，民主主义与教育[M]. 北京：人民教育出版社，2018.1

[3] 史宁中，基本概念与运算法则—小学数学教学中的核心问题 [M].北京：高等教育出版社，2013.5