【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学“数与代数”领域中，强调“整体性和一致性”，一要让学生感悟数的概念的一致性；二是体会数的运算的一致性；三是突出“数”与“运算”的一致性。

【关键词】核心素养 数与运算  一致性  教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学“数与代数”领域中，强调“一致性”，指出：对小学阶段“数与运算”主题，在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。这里的“一致性”主要包含以下三方面：一要让学生初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念的一致性，形成数感和符号意识；二是感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算的一致性，形成运算能力和初步的推理意识；三是沟通数的概念与数的运算之间的关联，突出“数”与“运算”的一致性。

一、基于“计数单位”，感悟数概念的一致性

     从数的形成与发展角度看，为了表示小于单位1的量而产生了分数；分数运算不方便，进而产生了小数。

     从数的意义角度看，数是对数量的抽象，“两本书”“两个人”都可以抽象成数字“2”，而“块”、“米”都可以抽象成数“”。

     从数组成的角度看，认识数本质上是认识数的组成，计数单位是数组成的基本元素，例如325=100×3+10×2+1×5，即325是由3个百、2个十和5个一组成的；3.25=1×3+0.1×2+0.01×5，即3.25是由3个一、2个0.1和5个0.01组成的；=×2，即是由2个组成的。因此，认识数的关键是认识计数单位，数的概念的教学应当以计数单位作为核心。

例如《小数的意义》这一课，笔者围绕华罗庚先生的一句话——“数都是数出来的”展开教学。一个涂满颜色的正方形用自然数“1”表示，两个正方形就是“2”，三个正方形就是“3”，十个正方形就是“10”，继续往下数，10个十是百，10个百是千……通过不断累加，形成了整数的计数单位体系。接着创设了用没有刻度的米尺测量课桌长度的真实情境，“课桌的长度没有满1米，要想量得更精确，怎么办？”激活了学生三年级初步认识小数的经验，“把1米平均分成10份，1份就是米，也就是0.1米。数一数，有6个0.1米就是0.6米”。“实际上课桌的长度要比0.6米长一些，比0.7米短一些，如果还想测得更精确，又该怎么办？”当遇到需要精细表达的问题情境时，可以充分利用学生在整数学习中积累起来的经验，通过不断细分，即把1平均分成10份得到0.1；把0.1平均分成10份得到0.01；……就形成了小数的计数单位体系。这样的教学把整数与小数的表达形式统一到“十进位值制”的本质上来，使小数计数单位作为整数计数单位的延伸和拓展，构成一个和谐的整体。

奥苏伯认为，当学习者学习一个新知识时，只有当这个新知识与学习者认知结构中已有的适当概念建立起非人为的、实质性的联系，才能被理解、建构和迁移。用“计数单位”做数概念教学的统领，厘清整数、小数和分数的联系，促进学生主动将小数、分数概念融入数概念之中，建立数学知识结构，这个知识结构的建立过程实际上是儿童认知结构的形成过程。只有我们教师在数的概念本质一致性上做好研究，才能在“双减”的大背景下，提高课堂教学效率，真正发展学生的核心素养。

二、基于“运算律”，体会数运算的一致性

1.运算意义的一致性

人类首先在记数活动中，通过数数进行累加，明晰了加法。例如古罗马记数法，将805表示为DCCCV，其中D表示500，C表示100，V表示5，DCCCV表示的是500+100+100+100+5，记数的本质就是加法，因此加法活动是人类最基本的数学活动。

减法是加法的逆运算。为什么5-1=4？从加法的角度来解释，因为4再添上1就是个，即4+1=5,所以从5里面拿走1就是4，所以5-1=4。

乘法是加法的简便运算。几个相同加数的和可以用乘法计算，例如6+6+6+6=6×4=24，推广到一般，a×b就表示b个a相加。

除法是减法的简便运算，也是乘法的逆运算。例如“12个苹果，每人4个，可以分给几个人？”这是包含除模型，每分给一个人就减少4个苹果，12-4-4-4=0，减了3个4，所以可以分给3个人，即12÷4=3，从这个角度来说，除法是减法的简便运算。也可以引导学生进行推理，12÷4=（  ），根据乘法口诀（  ）×4=12反过来思考，从这个角度来说，除法是乘法的逆运算。

综上所述，吴正宪老师将加法、减法、乘法和除法绘制成一个以加法为核心的关系结构图，在实际教学中，我们可以设计一堂《加、减、乘、除运算的复习》课，通过对比联系，融会贯通，帮助学生体会运算意义的一致性。

2.运算算理、算法的一致性

运算律与等式的基本性质是所有算理的基础，运算律主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。

以乘法运算为例，教学整十数乘整十数“20×30”，我们借助横式理解算理：20×30=（2×10）×（3×10）=(2×3)×(10×10)=600，这里就用到了乘法交换律和结合律。20里面有2个十，30里面有3个十，计数单位“十”和“十”相乘得到新的计数单位“百”，计数单位的个数2和3相乘得6，结果就是6个百，也就是600。

分数乘法，特别是分数乘分数的算理，苏教版教材上并没有进行详细说明。笔者在教学《分数乘分数》这一课时，做了如下尝试，试图让学生体会分数乘法与整数乘法的一致性。首先借助几何直观（如下图）理解分数单位乘分数单位得到新的分数单位：，先将单位“1”平均分成3份，又将其中的一份再平均分成5份，连续两次平均分，将单位“1”平均分成了15份，产生了新的分数单位“”。

接着基于直观操作和演绎推理，从计数单位和个数的角度推演分数乘法的算理与算法，×＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（×），是2个，是4个，两数相乘后，计数单位和相乘，产生新的计数单位为，计数单位的个数2和4相乘得到8个，8个就是，于是分数乘法运算与整数乘法运算保持了一致。

小数乘法运算的算理与算法基于整数乘法、分数乘法进行推演，例如：

0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=(2×3)×(0.1×0.1)=0.06，可以发现，小数乘法的算法与整数乘法几乎完全一致。但为什么0.1×0.1=0.01？还是要回到分数才能够说明白算理，0.1=，×==0.01。

综上所述，乘法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘得到新的单位的个数。

三、整体构建，突出“数”与“运算”的一致性

从上文中列举到的一些具体的运算例子中，我们不难发现，所有运算都是计数单位与计数单位的运算、计数单位上的数字与数字的运算。正如张景中院士在《感受小学数学思想的力量》中所说：计算是具体的推理，推理是抽象的计算。计算是什么？计算就是记一记，算一算，有多少个计数单位的事，最终依然落到计数单位上来。数概念是数运算的基础，数运算是数概念的运用，它们相辅相成、互相依赖，它们所涉及的要素是一致的，所培育的核心素养也是一致的。《数学课程标准（2022版）》在“数与代数”领域内，将原来“数的认识”和“数的运算”整合成一个主题——“数与运算”，也充分说明了这一点。

    新课程标准提倡主题教学，就是要围绕核心概念的理解与核心素养的培育，确定单元学习主题，统领整个单元学习，建立知识联系，形成具有一致性的、相互贯通的整体结构。在实际教学中，我们要重视对教学内容的整体分析，深化对数学知识本质的理解，提炼能建立数学知识间的结构与联系、发挥核心作用的数学概念，由此建构数学单元学习主题统整下的脉络清晰、条理分明、相互联系的数学知识体系，进而引导学生体会不同数学知识之间数学学习方法的一致性和可迁移性，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养。

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