数学实验：让几何概念的理解更深刻

吴 静

摘要：数学实验是几何概念教学的“脚手架”，是学生自主建构概念意义的重要学习方式。利用数学实验进行几何概念教学，能使“情境”和“经验”再现，让“操作”和“智慧”相融，促“理解”和“创造”共生。教学中，教师要立足学生的数学现实，以学生的视角进行观察和思考，从实验时机的把握、序列的设计、材料的选取以及方式择定等方面进行探索，使学生对几何概念的理解更加深刻。

关键词：数学实验；几何概念；理解；深刻

《新课标2011版》明确指出：“设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感知知识的形成和应用。”^[1]随着新课改的不断深入，数学实验日益受到一线教师的关注，成为小学生数学学习的重要方式，然而，在实际运用中还存在着一些问题。如何正确理解数学实验？数学实验具有怎样的教学价值？如何在教学中合理运用数学实验？下面，结合小学数学几何概念中“数学实验”的实践和探索，谈个人的一些思考和体会。

一、意义诠释：什么是小学几何概念中的数学实验？

1.几何概念

几何概念是学生学习一切几何知识的开端，是后续学习几何运算、几何推理、几何证明、几何变换等所需情感和知识的基石，对发展空间观念起到重要的作用。小学数学教材中绝大部分的几何概念（如下表）是在对现实空间的具体概念进行组织的过程中发展起来的，具有直观性、经验化的特点。

小学苏教版教材中几何概念教学内容和编排

年级

内 容

理解水平

一年级

认识立体图形（圆柱、长方体、正方体）；

认识图形（长方形、正方形、三角形、圆）；

直观水平：在活动中感知图形特征

二年级

认识角（包括认识直角）；

认识多边形（四边形、五边形、六边形等）；

三年级

认识长、正方形；

描述水平：分析图形的组成要素和特征

认识周长、面积；

认识轴对称图形、平移和旋转；

直观水平：通过操作活动或在实际情境中理解概念

四年级

认识直线、射线、角；

认识直角、锐角、钝角、平角和钝角；

认识垂直、平行；

认识三角形（包括直角、锐角和钝角三角形、等腰、等边三角形）；

认识平行四边形、梯形；

认识轴对称图形；

描述水平：理解概念特征和性质，明确概念内涵并定义概念

平移和旋转

描述水平：分析概念要素，认识概念特征

五年级

认识圆；

描述水平：认识图形各组成部分以及关键要素，理解并掌握图形特征

六年级

认识长、正方体、圆柱、圆锥；

图形的方法与缩小；

描述水平：了解图形各组成部分和要素，理解并掌握概念特征

认识表面积、体积和容积；

描述水平：认识概念本质，理解概念内涵并定义概念

从教材内容看，小学几何概念主要分为图形概念、图形运算概念以及图形变换概念这三类。图形概念包括线、面、体三种基本图形概念；图形运算概念主要涉及周长、面积、表面积和体积、容积；图形变换概念主要是指轴对称图形、平移和旋转、图形的放大与缩小。从概念理解水平看，分为直观认知水平和描述性水平两类概念。通常图形概念、图形变换概念要分两次学习，帮助学生从直观感知逐步上升为抽象理解。

2.小学几何概念中的数学实验

数学实验是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学实践探索活动。^[2]数学实验的本质是“做中学”，即通过物质材料的操作展示知识的形成过程，不仅能使数学对象具体化、可视化，还能将压缩、静态的数学结论“解压”，使之过程化并具有探索性。

小学几何概念中组织数学实验活动，其实质是通过对物化的概念要素的操作，引发学生对几何概念关键特征和本质属性的思考，从而自主建构概念意义的一种探究性学习方式。

二、价值寻绎：为什么要在小学几何概念教学进行数学实验？

数学实验是几何概念教学的“脚手架”。学生通过操作实验材料建构概念，丰富已有的经验，获得对几何概念意义的深刻理解，发展创造性思维能力。

1.“情境”和“经验”再现，学生理解几何概念的重要手段。

在学习几何概念之前，学生已经在日常生活中不断通过自身感知觉体验的积累，形成几何概念意象。这些概念意象受学生原有经验、以视觉信息表征及图形特点的影响，具有随意性、不稳定等特点，从而阻碍几何概念的发展。学生在数学实验中，通过对物质材料的操作对接经验，再现几何概念的形成过程，使原有的概念意象中模糊、粗糙，甚至错误的部分得以清晰可见，进而直观捕捉关键要素和本质属性，澄清、修正、完善已有的概念意象。

2.“操作”和“智慧”相融，学生主动学习几何概念的重要方式。

借助数学实验教学几何概念是一个动态建构概念的过程，也是学生主动理解数学概念的有效途径。数学实验要求学生利用已有的经验和知识基础“做”出新的概念，而不是以“看”为基础的概念推想。“看”是被动接受，而“做”是主动探索。“做”比“看”更能激发学生的学习热情，也需要投入更多的智慧。数学实验通过“做”概念将“操作”和“智慧”完美结合，两者相互融合、相互促进。思考引发操作，操作加深思考。学生基于问题的思考进行操作，又在操作中修正和完善认知，加深对概念意义的理解。

3.“理解”和“创造”共生，学生创造性学习几何概念的有效途径。

数学实验变静态的“看”为动态的“做”，不仅改变了概念认知方式，更使创造性学习成为了可能。荷兰数学家弗兰登塔尔认为：“学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来。”数学实验解放了学生的手脚和大脑，让学生有了更多的学习自由、更大的探索空间，使数学学习变得生动、有趣，还有利于概念的再创造。学生在实验中，需要摆脱对教师的依赖，整合自身的经验、能力以及对新情境的认知，通过动手操作展示自身的理解，再现或创造出新的几何概念。可以说，通过数学实验获得的几何概念无一例外是学生创造性学习的产物。

三、操作策略：如何在小学几何概念教学开展数学实验？

数学实验在小学几何概念的教学中有着广泛的运用。要发挥数学实验应有的教学价值必须立足学生的数学现实，以儿童的视角思考，从实验时机的把握、序列的设计、材料的选取以及操作方式的择定等因素切入，引导学生不断加深对几何概念意义的理解。

1.把握时机：在学生困惑时展开

数学实验是为学生探索几何概念意义而进行数学活动，具有较强的目的性。合理把握实验时机有利于学生理解几何概念意义，有助于学生感受到数学实验的价值，进而产生自觉运用实验理解概念意义的意识。过早或过迟引入数学实验都不可取。通常，数学实验要在学生出现理解困惑时“登场”，才能起到事半功倍的效果。

【案例1】苏教版教材三下《三角形的认识》

学生在生活情境中识别三角形，并进行广泛举例后：

师：同学们对三角形已经有了一定的认识，那么你能说说什么样的图形叫做三角形吗？

生：有3个角、3条边的图形。

师：还有不同想法吗？是不是有3个角、3条边的图形就一定是三角形呢？

（全班同学点头，肯定自己的想法）

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师出示图形，问：这个图形有3个角、3条边吗？是不是三角形呢？

生1：三角形的3条边是3条线段，不是曲线。

生2：我认为有3个角、3条线段组成的图形是三角形。

生3沉思，稍后：我感觉这样的说法还有问题，如果是这样的图形（随手画出 ），也不是三角形啊。

师：有点感觉，但好像说不清楚。那么怎样的图形才能叫作三角形？咱们可以用什么办法来研究？

生：可以做个小实验，用小棒围三角形。

教师并没有直接让学生进行实验，而是通过提问帮助学生提取已有的经验，在学生发现自身理解不足的基础上展开活动的。“什么样的图形叫作三角形？”、“有3个角、3条边的图形一定是三角形吗？”、“要知道怎样的图形叫作三角形，咱们可以用什么方法来研究？”教师的三问直指图形概念，层层深入，由第一问激活学生原有的经验，到第二问暴露学生经验和思维中的不足，最后到第三问寻求解决问题的办法，逐步为学生敲开“数学实验”研究的大门，充分体现了“数学实验”在几何概念学习中的价值。

古人云：学起于的思，思源于疑。问题是学生数学学习活动的起点和归宿，更是学生主动实验的原动力。教学中，教师要先通过提问让学生察觉自己的错误，造成认知上的不平衡进而产生认知调整的需求，再通过实验澄清错误概念，这样，才能使数学实验成为解决问题、理解概念的利器。

2.优化序列：在认知障碍处突破

几何概念的形成过程通过数学实验得以体现。学生循着教师设计的实验序列思考和探索，逐步建构起对概念意义的理解。合理的实验序列不仅要展示几何概念内在的逻辑线索，更要和学生认知线索相吻合。学生的认知线索则要通过对学生已有认知基础和水平的鉴定才能觉察。数学实验要在学生认知障碍处停留，并通过恰当的操作方式加以突破。

【案例2】苏教版六上“认识体积”

（1）实验一：

呈现材料：一个装有苹果的玻璃杯和一个装有水的容器。

思考：能不能将水倒入杯中，为什么？（杯中还有空隙、空间）

实验验证：将部分水倒入杯中。

（多次进行上述实验，直到杯中没有空间为止。）

结论和拓展：玻璃杯中有空间，那么课桌肚有空间吗？教室有空间吗？

（2）实验二：

材料：两个同样大小的杯子，分别装满水；两个大小不同的石块。

思考：往两个杯中分别放入石子，想想会出现什么情况？哪个杯溢出的水多？

实验：往杯中放入石子。

分析：为什么一个杯溢出的水多，而另一个杯溢出的水少？

结论：两块石子所占空间的大小不同，石子所占空间的大小就是石子的体积。

体积概念理解的难点是“空间”。由于“空间”是看不见、摸不着的，很难具象，通常，教学时会淡化“空间”认识，而强化“物体占有空间”的理解。比如，出示2个完全相同的玻璃杯，将一个杯中盛满的水倒入另一个装有物体的杯子，再提问“为什么杯中还剩有水？”由“水的剩余”反推“物体占了杯子的空间”。这样处理，学生对“空间”的认知还停留于想象中。这位老师的高明之处就在于，直面学生的问题，通过调整实验活动的顺序巧妙化解难点。由先提问“能不能往杯中到水？”再实验，成功将学生的注意力引向对杯中“空间”，使存在于想象中的空、幻的“空间”变得具体、可视，接下来依然采用“先猜后证”的顺序继续倒水实验，不断丰富着学生对空间的感知。正因为前期对“空间”充分的认知，扫除了认知上的障碍，所以后面只需一个对比实验就能使学生轻松理解体积的概念。

实践表明，实验序列设计要以学生的理解水平为参考，基于数学知识内在逻辑进行加工和改造。如果学生理解出现困难，就要想方设法创设实验环境帮助学生跨越障碍；如果学生轻易就能理解的部分，则可以不做实验安排。好的实验序列要体现“以生为本”的教育理念，从学生学习实际出发进行计划，并通过精心设计提问引发学生关注和思索。

3.精选材料：在关键要素上聚焦

数学实验是通过在对材料操作帮助学生实现对概念理解的。实验材料是学生操作和思维的对象，在实验中起着举足轻重的作用。通常，几何概念教学中的实验材料直接指向概念的各个要素。因此，要在代表关键要素的实验材料上多动脑筋、做文章，帮助学生快速聚焦。

【案例3】苏教版五年级下册《圆的认识》

设疑：你有哪些办法画出一个标准的圆？（全班交流）

出示材料：一根绳子、一段粉笔和一枚图钉。

提问：你会利用这些材料画出一个圆吗？

实验：同桌合作，利用老师发的2套工具分别画一个圆。（提供的是组装好的半成品，即绳子的一头已经系好粉笔；另外每组都有两套材料且绳子的弹性不同，有的绳子无弹性、有的是弹性大的皮筋。）

讨论：同样是用钉绳画圆，为什么一个能画出比较标准的圆，另一个不行？

结论：要画出一个标准的圆关键是什么？（绳子长度固定不变）

定名：钉子所在的位置正好在圆的中心，叫圆心；固定不变的绳子画下来就是一条线段，这条线段就是圆的半径。

特征：圆的半径有什么特征？为什么？

教师将原本孤立的画圆、各部分名称和半径特征三个教学环节联系起来，形成以探究圆的特征为核心的认知整体。圆的特征是什么？又该如何聚焦特征？通过以上的教学便可一目了然。执教老师对于圆的本质特征持有鲜明的观点：半径的特征就是圆的特征，即半径的长度有无数条且长度相等。这一特征借助实验材料——“绳子”进行聚焦、放大，引发学生关注和思考，最终由“物”过渡为“线段”，顺利完成抽象。

数学实验要凸显几何概念的本质特征，不仅需要依托合理的实验顺序，更要掌握遵循实验设计特定的准则、方法。从以上案例中可以窥见数学实验的一般之“道”，即找到与几何概念关键要素相契合物质载体（实验材料）和操作方式。如“半径”对应“绳子”，“半径有无数条，长度相等”则对应“绳长固定不变，绕钉子旋转一周”。设计实验时，要立足几何概念本身进行特征和要素分析，通过鲜明的材料以及夸张的操作，抓住学生的注意力并引导其主动思考。如教学二年级“角的认识”一课中，可以在设计让学生用纸质材料做角实的验，为了让学生感知角的大小和边的长短无关，可以通过夸张的手法剪短学生所做角的边，强化学生对角的本质的认识。

4.改良方式：在经验再造中探索

同一个内容可以通过不同的实验方式进行学习，而不同的实验方式有不同的教学效果。教学中，教师不要拘泥于教材提供的实验思路，可以借鉴或创造一些实验活动，并在此基础上通过价值判断选择出最佳方案让学生实验。好的实验方案能让学生主动参与学习，在经验再造中探索概念本义，并能促进思维能力的发展。

【案例2】苏教版三上《认识长、正方形》

出示材料：3组长短不同的小棒（各四根，分别为2长2短、4根不同长短、4根等长的小棒）

实验：选择其中的一组小棒围一个长方形。

反馈：同学们都利用小棒围出了长方形，很厉害！下面，请你们指挥老师围一个长方形。我该选的是怎样的4根小棒，又是怎么摆放小棒呢？

（选2长、2短小棒，长的和长的对面摆放，短的和短的对面摆放。）

想象：按照你们的方法，老师一定能围成长方形吗？

操作出平行四边形，设疑：为什么没能围成长方形呢？问题在哪儿？

及时调整角度，得结论：看来，围长方形的时候要关注小棒摆放的角度。

操作描述：说说怎样才能围成长方形？（选4根小棒，2长和2短，长、短小棒要相对摆放，4个角要摆成直角。）

转换：围长方形的小棒就是长方形的边，谁能说说长方形有什么特点？

特征再描述：4条边，相对的边长度相等；4个角都是直角。

以上案例中，教师并没有沿用教材提供的实验路径和方式，明确要求学生通过测量边、角发现长方形特征，而是让学生用小棒“做”出长方形。这个改变源自于教师对“做中学”这一实验内涵深刻的理解：首先，选小棒做图形需要学生综合运用操作技能和智慧技能才能得以完成，是一个构造图形的过程，也是一个不断调用、完善图形经验的过程。随后，采用“指挥老师围图形”的实验反馈形式更为学生描述特征起到关键作用，不仅将学生对长方形特征的认识从动作层面上升至语言层面，使特征清晰化、明朗化，还能使学生对图形认识更为全面，从对“边”、“角”单一元素的感知过渡到多元、全面的认知。

数学实验的方式优劣因教学内容、教学目标和教学对象而异。教师在选择实验方式时要非常谨慎，要从凸显概念本质、增进学习体验和提升思维能力等方面进行综合考量，全面关注学生“四基”的发展。

数学家欧拉曾说过：“数学这门学科，需要观察也需要实验。”数学实验具有直观性、操作性、探索性和创造性等特点，在小学几何概念教学中得到了极大的关注。然而，不能将数学实验“标签化”，简单地将有无数学实验作为衡量一节几何概念课好坏的标准。教师要正确理解数学实验的意义和价值，结合具体的教学内容，从学生的数学现实出发设计实验活动，使数学实验真正成为由表及里、由浅入深理解概念本质的重要手段。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[s].北京：北京师范大学出版社，2012：63.64

[2] 董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013：6

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