数学理解，让计算教学走向深刻
——“运用商不变的性质简便计算”教学改进与思考
江阴市祝塘中心小学 包永芬
【摘要】：计算教学最终是建构抽象的算法模型,小学生建构抽象的算法模型通常需要形象地理解来支撑，深刻的理解才能成就学生的深度学习。深度学习要求教师引导学生借助操作探索本质；借助形象理解算理；借助变式总结算法，最终引导学生深度运用知识。
【关键词】：数学理解；计算教学；深度学习
深度学习是以知识深度加工、意义构建和深度思维为主要特征，以理解应用分析、推理创造等高层次认知活动为主要学习活动，学生以理解为基础，积极主动参与学习。而以建构抽象算法模型的最终目的计算教学就需要这样的深度学习。
【问题凝视】
在四年级上册，运用商不变的规律简便计算教学之后，类似于下面的错误层出不穷。
有的学生在计算时经常会忘记余数还原，还有一部分学生则继续把划掉的“0”移下来继续除。错误一的学生知道错后会马上订正，但是下次做的时候还是会错；错误二的学生不会订正，甚至不知道自己错在哪里，他认为余数是10，比4大，应该继续除；还有些学生一味的模仿形式却不知其所以然。
【成因透视】
数学学习的过程不是一个模仿和复制的过程，也不是一个模糊不清的过程，它应该是一个不断运用自己的知识经验通过思考后进行合理的自我建构的深度学习的过程，每一个学生都应建立在理解基础上建构属于自己的数学。如果缺少思考和理解，那么学生反馈过来的作业一定是错误百出的，针对以上的错误究其原因有以下两点：
一、商不变的性质理解不深
从错误一不难发现学生对于商不变的性质的认识浮于表面，只是从形式上认识到被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，学生知其然不知其所以然，以至于对余数到底是1还是10难以清晰确定。而大部分教师对规律的探索也就此止步，然后就是对规律的运用练习，殊不知对规律的浅认知会影响规律应用的广度与深度，当有出现余数或是四位数除以三位数如9300÷230时，学生的错误率明显增高。
二、算理不明
从错误二可以了解学生在利用商不变的性质简便计算时，对算理处于一知半解状态，特别是对余数的认知还是模糊不清。例如850÷40中，学生知道可以把被除数和除数同时缩小10倍即85÷4，商不变，余数跟着改变，所以学生在余数1后面添上了0，认为余数是10比除数4要大，还应该继续除下去，其实学生还是算理不明。
【出路审视】
一、借助“操作”探索“本质”
抽象的本质需要形象来支撑，动手操作是直观理解本质的重要路径。商不变的性质教学看似简单实则不然。大部分教师会这样来设计教学：从一组数据中抽取共性，发现规律，再举几个例子验证便能总结规律，最后应用规律简便计算。然而这样止步于数字表面的认知，给学生带来的就是一知半解，错误百出。对于计算规律教学应该让学生知其然还要知其所以然，让学生通过操作主动参与、深入探究，在对比中抽象出“商不变的性质”，在理解的基础上掌握本质，才能为以后的灵活运用奠定基础。在商不变的性质一课中可以如下操作：首先出示一组算式4÷2=2，40÷20=2，400÷200=2，当学生找出数字表面的规律后引导学生再思考，可以让学生借助小棒进行如下操作后对比找共性。当学生发现以1为单位4个1，每2个1为1份，有2份；以十位单位，4个十，每2个十为1份，有2份；以百为单位，4个百，每2个百为1份，有2份；以此类推，以千为单位、万为单位都是这样，商不变。然后引导学生再探索，如果以5根小棒捆成一捆（也就是以一个5为单位）哪怕6根小棒捆成1捆，7根小棒捆成1捆，其实都可以计算4÷2。在这样的对比中找共性，让学着自己领悟商不变的性质的本质。
二、借助“形象”理解“算理”
认知心理学告诉我们，抽象的算理需要“栓”在形象之“桩”上。学生只有在直观理解的基础上才会主动深入理解算理。利用商不变的性质简便计算看似撇掉几个0后计算更简单，然对学生来说并不简单。没有余数的除法还没什么问题，当有余数出现时，如果只有简单的说理，如错误一中出现的余数1在十位上，余数就是10，这样抽象的说理对于一些学习能力较弱的学生是难以理解的。因此还是要借助小棒图，把抽象的算理直观呈现，形象的解释850÷40，即有85捆小棒，每4捆1份，有这样的21份，还余1捆，余数1相当于是1捆小棒，也就是1个10.这样形象呈现算理，每个学生都能有着自己理解和知识的建构，计算的过程每一步都会有理有据，自然也不会模糊地重复与模仿。
三、借助“变式”总结“算法”
算法属于数学模型，具有高度的抽象性，必须建立在意义理解的基础上。算法的每一个步骤虽是人为的规定，但都要有意义的支撑，所以在总结算法时，教师要引导学生在变式中找到不变的关键处，把计算过程程序化、数学化。利用商不变的性质简便计算在总结算法时，不妨让学生在变式中总结方法：如学生做完850÷40、8500÷400、58500÷900一系列的题后，就让他们对比、回顾，用自己的语言来陈述解题步骤及原理。学生只有用自己的方式表达思维过程，在理解的基础上建构的算法才能稳定而扎实。
【片段重构】
师：850÷40有的同学得到的答案是21余1，有的答案是212余2，还有的答案是21余10，到底哪个答案才是正确的，我们可以来验算一下。会验算吗？
生：用商乘除数加上余数，看是否等于被除数。
师：那请同学各自验证自己的答案，告诉我哪个才是正确答案。
生：我通过验算，正确答案是21余10.
师:21余1的同学错在哪里呢？你们能用小棒图来给他解释一下吗？可以先讨论再合作。
老师提供学习单小问题引导：
1、850÷40表示以 根小棒为1捆，
你能把图简略的画一下吗？
余下1捆小棒代表的余数应该是
学生交流时，老师出如下图：
生1：850÷40各自撇去1个0表示以十根小棒为1捆，所以850就表示有85捆小棒，每4捆为1份。
师：是的，85捆小棒太多了，我们画了几组后可以用省略号来表示，只要下面写好85捆。
4捆1份，有这样的21份，最后还剩余1捆。
师：余下的1捆小棒代表余数应该是1还是10？
师：如果是8500÷400，这时商是多少，余数又是多少？你可以计算，可以画图，也可以什么都不做只动脑。
生2：商是不变的还是21，只不过这里1捆代表的是100根小棒，所以最后余下的那1捆小棒应该表示1个100.
师：也就是说余数是100，对吗？
师：如果没有小棒图，你能直接用竖式来解释余数是多少吗？
生：我在8500上面标了“个十百千”如下图：
被除数8500和除数400都撇去了2个0，也就是85个百里面有多少个4百。
师：在第二次除表示的是5个百里面有1个4百，还余下1个百。
师：这余下的1个百还能继续除以4吗？说说理由？
生3：从小棒图中可以看出是每4个百为1份，这里只有1个百，不够了。
师：是的，1后面就算添上2个0，它还是表示1个100，不够4个百的。师出右图：
师：我们针对刚才的错题进行画图操作，分析思考，你们有什么收获吗？
生1：在利用商不变的规律简便计算时，商不变，但是余数会改变，所以最后要还原。
生2：余数在什么位上就是几个几。如刚才的余数1在十位上表示1个十，余数在百位上表示1个百。
生3：其实只要看撇掉了几个0，撇掉1个0余数就是十，撇掉2个0，余数就是以百为单位。
生4：余数就算添上0也不能继续除，因为添上0就是以1为单位，就像刚才100个1还是不够400除的。
师：同学说的太棒了，小小简便计算蕴藏着如此多的学问。看来在计算时我们只有深入思考、看清本质，理解算理才能真正学会简便计算。
……
计算教学的算法抽象过程需要学生深入探究，从具体操作到形象理解，再到抽象建模，都需要学生扎实经历、深入理解，引领学生从初级思维走向高级思维，培养学生的数学素养。
参考文献：
[1]姜启源,谢金星：数学建模案例选集[M].高等教育出社,2006版.
[2]吴永军.关于深度学习的再认识[J]课程·教材·教法，2029（02）.