用数学实验提升思维品质

近年来,数学实验教学逐渐进人教师的视野，并成为研究的热点。数学实验，是指学生为探索数学规律建构数学概念或解决数学问题，在数学思维活动的参与下,基于特定的物质条件,通过操作进行”的一种数学探索活动。集思维和操作于一体,是为促进数学思考、验证数学猜想、归纳数学规律解决数学问题,在典型的实验环境中进行的一种数学建构过程和数学探索。活动数学实验一般包括“提出问题、设计方案、实验探索、发现结论”四个环节。小学阶段开展数学实验教学，引导学生动手做数学，进一 步丰富数学学习方式，实现思维可视,有利于激发学生探究数学的兴趣，培养学生的问题意识和实践能力，大量成功的教学实践表明，数学课堂引进数学实验，能有效培养学生的数学思维，发展学生的数学素养。

在教学实践中，我们发现数学实验教学仍存在一些典型问题，实验与思维结合不紧密，使数学实验失去应有的价值。在此和大家一起借助相关案例加 以分析，并提出一些教学对策，推动学生的思维向更深处漫溯。

一、问题透视

1.实验认知简单，学生实验“流于形式”，思维没有触发

对于数学实验的认知，很多教师简单地认为就是动手操作。比如,教学“圆锥的体积计算”，教师出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生观察猜测:“等底等高的圆柱和圆锥的体积之间有怎样的关系?”在学生猜测圆锥的体积是和它等底等高圆柱的体积的一半或1/3之后，教师要求学生拿出等底等高的圆柱和圆锥形容器动手实验,再通过交流实验结果，得出结论:等底等高的圆锥体积是圆柱的1/3。这样的数学实验过程，更多地体现为教师牵引下的学生动手操作所有流程都在教师的掌控之中，学生无需自主地提出问题、制订计划作出选择，只要按照教师规定的程序完成操作即可。根本就没有让学生可以思考的地方，学生的思维也不会被触发。

2.实验方案模糊，学生实验“无所适从”，思维处于混沌

俗话说，凡事“预则立，不预则废"在开展实验教学的课堂上，我们常常发现学生对实验步骤、实验要点、实验方法等还不明朗，教师就要求他们开始操作。学生在动手做的过程中常常不知所措，顾止失彼，数学实验的有效性大打折扣。比如，组织苏教版教材六年级下册“大树多高”的活动，在开展数学实验时，教师以为通过前期的学习，学生都会提取已有白知识经验完成实验，即先量出竹竿的际长度，以及竹竿和大树的影长，再算大树的高。于是课堂上直接要求学生上工具，小组合作，到操场去测量。由教师对实验细节交待不清，学生在活动 手忙脚乱一有 的几个小组争抢同一树;有的，小组因为树冠很大，不知如何量大树的影长;有的小组使用来尺得到自数据误差太大:还有的学生在那里不什么。在实验的过程中，学生沦为实验的操作工，由于数据误差大，使学生的思维处于混沌之中。

3.实验过程压缩，学生实验"”行色匆匆”，思维不够深入

与传统课堂相比，数学实验课开放性强，探究空间大，思考时间长，教学组织难度大，因此课堂常常会出现时间不够用的情况。教师为了减少课堂出“乱子”，追求相对“平稳顺畅”，往往会压缩应有的探索空间和时间，将原本丰富的过程“压成一小块”。比如，教学苏教版教材四年级下册“多边形的内角和”，，学生探索五边形的内角和时想到了多种方法(如下图)。教师引导学生比较，并启发他们发现:图(2)(从三条边中间一点出发分)和图(3)(从图形内一点出发分)分出的三角形的内角与盾来五边形的内角相比，多出了一些角。从而让学生“自愿’放弃对这两种分法的研究。再借“优化”的名义建议学生从一个顶点出发分，这样比较简便，比较有序。进而选择图(1)和图(4)进行研究。这种压缩式的实验过程，制约了学生的深度思考。

二、原因分析

1.对数学实验对学生思维的促进作用认知肤浅

很多教师对数学实验的理解还停留于表面，简单的认为数学实验就是“操作”、“活动”，与思维的关系不大。事实上，数学课堂上开展实验教学.应该重在培养学生的问题意识、创新意识和实践能力，强调问题引领和学生思维的深度参与。数学实验中虽然很多时候离不开数学操作:但数学实验并不等同于数学操作.数学操作往往只是数学实验教学中的一个环节数学实验的立意比数学操作更高)更深。

2.对学生身心、思维发展特点了解不足。

成尚荣先生曾说过，儿童心理学应该是教师的第一专业。教师只有对小学生的年龄特征、思维习惯和学习心理等有充分的了解,才能更好地“教学生学”。从生理上看，一至六年级跨度较大，学生的骨骼发育、操作能力具有较大的差异，这就需要教师选择合适的实验方式。从心理上看，一方面小学生好动、好奇，面对突然 出现的实验材料，焕然一 新的学习方式，可能会按耐不住，想一探究竟。另一方面,小学生好胜心强，他们对结果胜负的关注常常大于对实验本身的关注。学生的思维正从具体形象思维向抽象思维过渡发展。这些都需要教师根据相关内容，紧紧抓住数学实验的目标和本质，制订适合的实验方案。

3.受应试教学习惯的影响。课程改革已经走过较长一段历程，课程理念已深入人心。数学实验是学生感悟数学基本思想、积累数学活动经验的重要途径，也成为共识。但受传统应试教学的影响，还不能自觉地将课程理念转化为教学实践，一部分教师仍然存在重结果、轻过程，重知识、轻能力等观念，在课堂实施过程中怕麻烦，不愿组织学生实验，学生也就失去了经历过程，深入思考的机会。

三、教学对策

那怎样才能让数学实验发挥作用，依托数学实验发展学生的思维呢？

（一）提高数学实验效率

1.增强学生提问的意识。

爱因斯坦说过:“提出一个问题往往 比解决一一 个问题更重要。”“并不是我很聪明，而只是我和问题相处得比较久-一点。数学实验教学要关注学生问题意识的培养,其主要路径包括:在创设情境中，制造认知冲突，引发学生的问题意识;在实验过程中，鼓励学生提出问题，对同伴、对方案等进行质疑;在得出结论后，启发学生由此及彼，发散联想，引发新问题。这样，学生在整个探索过程中，问题意识就能始终相随相伴。比如，教学“圆锥的体积计算”时，教师可以直接出示一个圆锥形容器，让学生提出研究的问题。当学生提出要研究圆锥的体积时，进一步引导:“你打算怎样研究?圆锥的体积可能和哪种形体的体积有关系?有怎样的关系?”然后给学生提供若干圆柱和圆锥(其中有等底等高的，也有非等底等高的)，让学生自主选择实验材料开展数学实验。最后组织交流、比较、推理，得到圆锥的体积计算公式。在得出结论后，还可以启发学生进一步思考，即如:“等底不等高的圆柱和圆锥,怎样研究它们体积之间的关系?”"等高不等底的圆柱和圆锥，怎样研究它们体积之间的关系?”“不等底也不等高的圆柱和圆锥呢?”

2.优化实验方案的设计。

一个完整的实验方案，必须要具备以下几个要素:实验的目标，实验的方法与流程，实验的材料,成员的分工等。好的实验方案，会让数学实验教学事半功倍。当然，这并不是指教师完全包办。好的实验方案设计，离不开教师在教学实践中对学生循序渐进的指导。低年级，可以由教师给出实验方案;中年级，可以引导学生参与到方案的讨论中;高年级，可以让学生尝试设计方案，教师适时指导，提供帮助和支持。通过参与实验方案的讨论与设计,使学生一方面对实验的目标、方法、材料做到心中有数，另一方面也可在参与师设计的过程中不断优化方案(实验的方法、工具等)。比如，组织“大树有多高"的活动时，在学生对实验方法、工具、分工等进行初步设计后，教师还应引导他们在细节上深加工。即如，提出如下一些问题:“如何量才能更准、更快、更省事?需要带哪些工具?选择的一根竹竿多长比较合适?怎样带尽可能少的工具测量出尽可能多的数据?”正如郑毓信教授所说，学生动手之前只有多“思考”，实践之后才可能少“盲目”。

3.追求数学实验的“真"过程。

针对实验过程被压缩的倾向，我们提出数学实验要追求“真”过程。所谓的“真”，一是指真体验。要让学生在参与数学实验的过程中自主探索、主动交流,无论是“山穷水复”，还是“柳暗花明”,都要让数学实验给学生留下些思维的经验和实践的经验。二是指真探索。要让学 生像科学家一样进行思考。 虽然学生的实验研究还很稚嫩，但他们的每一次探索，每一个发现，哪怕一个错误的猜想,跟科学家的研究都有着类似的价值。教师要在尊重学生想法的基础上，鼓励他们探索、求异、创新，培养其良好的数学品格。三是指真分析。要组织学生对相关数据、结果展开分析。无论是“自古华山一条道"的演绎推理模式，还是“条条道路通罗马”的发散思维模式，都可以培养学生的理性精神。比如，教学“多边形的内角和"时，把五边形分解成三角形,有多种分法，每种分法都可以进行研究，特别是从图形内一点出发分的方法。一开始可能相对复杂，但到后面就会发现这种方法更有利于学生发现规律。利用乘法分配律推算， 也能发现两种表示方法“nx 180*-360°”和 “(n-2)x 180”之间的内在联系。这样，学生的思考就会更加深刻，对规律的表达也会更加充分。

4.延续学生研究的热情。

德国著名教育学家第斯多惠说:“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”数学实验教学也是如此。对于一个实验，结论的得出，并不代表着学习和思考的结束。如何让每个学生课堂上火热的思考能够继续?如何让学生的高阶思维得到培养?著名特级教师俞正强提出:“教师在观念上要将学生的学习视为整体学习，这个整体是以一个学习型社会为背景的，横向上包括课堂内外、学校内外、家庭内外等，纵向上表现为时间的延续乃至终身。”课堂学习虽然重要,但只是整个学习的一部分。所以，教师不能只盯着结论，也不能让学生囿于课堂。在得出结论后，一方面可以引发新的问题，鼓励学生继续研究;另一方面还可以启发学生换一种方式深入探究,让不同的人在数学上得到不同的发展。比如，教学“和与积的奇偶性”时，在研究了“和的奇偶性”之后,内容上，可以引导学生延伸到研究“积的奇偶性”;形式上，可以鼓励学生个性化地表达，如画图说理、写研究报告、编顺口溜、写实验日记等。通过课堂在学生心里种下一粒种子，并让这粒种子在更广阔的时空里发芽，生长。

（二）展开实验联想

1.以“实验联想”揭开知识内涵本质，让思维更有深度

数学实验教学，用问题作驱动,用直观作引擎，为学生更好地理解知识内涵本质提供深度思维的空间。苏教版教材三年级下册“两位数乘两位数”单元“你知道吗”栏目，介绍了“铺地锦"的计算方法。学生阅读之后，容易产生这样的疑问:“铺地锦”能正确计算所有整数乘法吗?为此，我们可以组织学生展开实验探究。

学生采用分类研究的方法，经历列举为不同位数的整数相乘，在方格纸上铺“地入锦",用计算器验算的实验过程(如下图)，发现“铺地锦"的计算方法完全适用于所有的整数乘法。“数形结合、妙趣横生”的研究没有止步。接下来，在教师引导下，学生进一步展开联想:是不是还有不同的“形”可以计算乘法呢?由此启发他们展开“画线法”实验探究。比如，计算23x 21(如下图)，先用小棒摆出23,再交叉摆上21,数一数其中的交叉点，最左边有4个交叉点,中间有6+2=8个交叉点，右边有3个交叉点。于是，得到23与21相乘的积是483。通过举例验证，学生发现用“画线法”也能计算所有的整数乘法!

两次实验，都实现乘法运算与“形”的 完美结合。“铺地锦”与“ 画线法"有什么共通之处?其中蕴藏了怎样的数学奥秘呢?这些问题又推动学生从算法探究走向算理思考，推动思维逐渐深入。在经历深度思维之后，学生发现:原来无论是铺地锦，还是画线法，都有同样的计算原理，即依据乘法分配律把乘数进行拆分 再乘。如23 x 21，把23分成20和3,把21分成20和1,20与20相乘得到4个百,1和20相乘得到2个十,20和3相乘得到6个十,2个十加上6个十就是8个十,再用3和1相乘得到3个一。铺地锦最后斜着加就是“相同计数单位的数相加”，而画线法中的交叉点位置从左往右依次是百位、十位和个位。在此基础上，学生通过梳理完成表格，与竖式沟通，在图、表、式多种表征形式之间建立联系，深刻理解乘法算理的内涵实质。

从“铺地锦”联想到“画线法”，实验的目的不仅仅是验证算法的一般性，更在于探究算理的深刻性。弗赖登塔尔说过:“理解算理的最好途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令人信服，如果不给儿童必要的时间，如果算法是生硬地灌输的，随之而来的必然是一个糟糕的反应。”数学实验正是给学生创设了这样一一个自主探究发现的学习环境。

2.以“实验联想”优化数学实验路径，让思维更具创新

思维的创新往往具备思维的广阔性独特性批判性、敏捷性和灵活性等特点。表现在解决问题的活动中.所谓创新意识，就是能从多角度、多侧面、多层次、多结构去思考,从多种方案、多种途径中去探索和寻找问题的答案。数学实验教学，提倡让学生自主参与实验方案的设计,在实验方案的选择、优化过程中，培养他们的创新意识。基于学生的认知水平和现实学情，可在三年级开展“一共有多少枚硬币”的拓展性实验。

教师创设问题情境:面对一堆散乱且足够多的硬币，怎样才能很快知道一共有多少枚硬币?

首先，让学生以小组为单位，讨论设计实验方案，得到以下几种方法:

(1)一枚一枚地数,直到数出硬币的总枚数。

(2)把10枚叠成摞， 量出高度;再把 所有的硬币叠放在一-起 ，量出总高度。用总高度除以10枚的高度，再乘10。

(3)先称出10枚硬币的质量，再称出所有硬币的总质量用总质量除以10枚的质量,再项10。

接着，引导学生比较择优。相比第一种方案，后两种方案采用“以少算多”的策略。显然更加智慧。后两种方案的不同在哪里呢?学生经过比较和交流，发现它们的“操作难度"不同，许多枚硬币叠起来量高度和直接放在天平上称质量相比，显然后者更易操作。从数学思维和实验操作的角度看，第三种实验方案之后,继续引导实验联想。设计第二种实验方案的小组学生，一直耿耿于怀。在实验结束后，他们不服气地说:“我们设计的方案，虽然在解决‘数硬币，的问题上输给了第三种方案,但在解决其他问题时并不见得差!”经过联想，学生得到:如果有足够厚的一.摞纸，要想知道这摞纸的张数，是不是测量厚度更合理呢?于是，就有了接下来的数学实验: 取来一摞A4纸，先测量20张的厚度,再测量这摞纸的总厚度，用总厚度除以20张的厚度,再乘20,很快就能求出这摞纸的总张数。

经历了“纸有多少张”的数学实验后，提出第二种方案的学生脸上写满了兴奋。原来实验方案的合理性与实验环境、实验对象有很大关系，要根据物体的属性和条件灵活选择合理的实验方案。“硬币有多少枚”实验之后的联想与实践,让学生深刻体会到对变化的事物要用发展的眼光和观点去思考。学生的创造性思维在从实验方法的多维发散到逐步优化的 过程中得到进一步培养。

3、以“实验联想”反思解决问题策略,让思维更趋系统

数学学习中，学生的思维如果缺乏结构关联，长期处于碎片化状态，学习负担就会越来越重，甚至会逐渐丧失学习的自信心和自主发展的能力。数学实验作为学生学习数学的一种方式，更加关注学生经历结构化的过程，促进思维系统有序。以苏教版教材五年级上册“解决问题的策略(-一 一列举)” 为例，可以教材的例1(如下图)作为实验素材，引导学生展开活动。

解决“怎样围面积最大”的问题，学生通常的思路是找出所有围法，再进行比较。因此,用22根1厘米长的小棒怎样有序地找到所有的围法，是实验过程中的重点。学生通过围小棒、画图形、填表格和比面积，尝试找到各种围法,并呈现出“无序”和“有序”的差异资源。通过比较，学生能够感受到列举策略的优势，体验到有序思考的价值。通过列举找到面积最大的长方形之后,学生还发现:“当周长-定时，长方形的长和宽越接近，面积越大。”为此，引导他们进一步展开实验、验证，其思维的严谨性、有序性便再度得到培养。

由小棒围长方形的实验，自然会引发学生联想到用小正方形拼摆长方形，从而让实验变得意犹未尽。教师顺应学生的学习心理，相机呈现:“如果用20个1平方厘米的小正方形拼长方形，怎样拼周长最长呢?”因为有前面的经验积累，在解决这个问题时，学生大都能够通过实验有序列举出所有面积是20平方厘米的长方形(长和宽为整厘米数)。通过观察，提出猜想:“当面积一定时，长方形的长和宽相差越大，周长就越长。”再次经历“提出猜想一实践验证一结论表达"的实验过程。在参与数学实验之后,教师引导学生开展结构性反思，即如:我们是怎样展开这两个数学实验的?这两个实验有什么相通的地方?还有哪些实验也可以像这样来展开?等等。通过反思，使学生真切体验两个实验的异曲同工之处，积累结构化的数学活动经验，培养整体化、系统性的思维品质。

学生的学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学实验为学生提供了足够的时间和空间，促使其会学、爱学、乐学。第斯多惠说:“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在数学实验中，引导学生尝试开展“实验联想”，就是唤醒学生对未知事物好奇的天性，激励学生对知识形成、发展的过程进行思辨与求证，从感性到理性，让思维更有深度，更具创新性，更趋系统性，从而实现思维品质的有效提升与综合素养的长足发展。

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