长方体和正方体的体积
教学内容：六年级上册第16～17页的例题及“试一试”“练一练”和“练习”。
教材分析：
本节课是在学生已经探索并掌握长方形、正方形以及其他一些常见多边形的特征，并直观认识长方体、正方体的特征，掌握了体积的概念和常用的体积单位的基础上教学的，是学生第一次学习立体图形的体积计算。从研究平面图形到研究立体图形，是学生空间观念发展的一次飞跃。对常见平面图形特征及其周长、面积计算方法的探索，既为进一步探索长方体、正方体这样的立体图形的特征以及表面积、体积的计算方法奠定了知识基础，同时也积累了探索的经验，准备了研究的方法。通过学习长方体和正方体，可以使学生更好地以数学的眼光观察、了解周围的世界，形成初步的空间观念；同时也能为进一步学习其它立体图形打好基础。
学生分析：
小学六年级学生，已经有一定的独立见解，但他们的见解极易受外界影响，因此，教师在教学中不仅要充分考虑到他们的理解和接受能力，更要注重培养他们的分析解决问题能力以及探索的热情。从落实《数学课程标准》的新理念出发，多给学生提供自主探索的平台，让学生通过操作、实验、观察、猜想等手段亲身经历知识的形成全过程，从而品尝到成功的喜悦，使学生的主体地位得到强化。
教学方法分析：
按照新课程标准要求，教学中注意所学知识与现实生活的紧密联系，在动手操作、自主探索中培养空间观念，建构新知，让学生经历知识的形成过程。采用直观演示法、操作实践法、小组交流法等方法有机融合的教学策略，引导学生在充分感知的基础上，通过说、摆、做、想等活动 ，把学生的视觉、听觉、触觉、运动觉协同起来，由感知-到表象-再到本质，让学生在实践活动中掌握知识、丰富表象、提升经验、形成思考。教学时，根据学生的年龄特点，结合多媒体教学的优势，把静态的教学内容动态化，抽象的教学材料直观化，力图通过形象生动的教学手段吸引学生，调动每一位学生的学习兴趣，从而做到教法、学法的最优组合，促使每一位学生真正参与到探索新知的学习进程。
教学目标：
1．让学生在操作、观察、猜想、交流和归纳等数学活动中，探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能应用公式正确计算长方体和正方体的体积，并能解决相应的简单实际问题。
2．让学生在数学活动中，进一步积累探索数学问题的经验，增强空间观念，发展数学思考。
教学重点：①理解长方体和正方体体积的计算公式的推导过程。
②能正确计算长方体和正方体的体积。
教学难点：理解长方体和正方体的体积计算公式的推导过程。
学具准备：1立方厘米的正方体若干个。
教学过程：
一、复习
下面的物体都是用1cm³的正方体摆成的，它们的体积各是多少立方厘米？哪个体积大？哪个体积小？（多媒体出示）
师：你是怎么知道的？
小结：可见要计量一个物体的体积，就要看这个物体含有多少个体积单位。
二、情境设疑，揭示课题
1. 创设情境：屏幕播放体积相近的一块绿豆糕和一个火柴盒的故事。
2. 要帮它们比什么呀？（比体积）
3. 如果和刚才一样我们知道它是由几个1cm³的小正方体组成的，那我们就可以知道它的体积，就能比大小了。你们有什么办法比出它们的体积大小吗？
（1）用切的方法求绿豆糕的体积。
说明：这块绿豆糕的长是2厘米、宽2厘米、高3厘米。
师：怎样知道它的体积呢？
生：把它切成棱长是1厘米的小正方体，数数有多少个，它的体积就是多少立方厘米。（关键看这个长方体中包含了多少个1立方厘米）
师：这个办法不错，我们一起来切切看。
多媒体演示：学生看、数。
师：这块绿豆糕的体积是多少啊？（12立方厘米）
（2）求体积遇到困难，激发学习动机。
师：能用切的方法求这个火柴盒的体积吗？
生：不能。
师：像绿豆糕等物体能切开数它的体积，像火柴盒、柱子等物体不能切或切不开，怎么办呢？
师：看来，还需要找到更简单的方法。
4. 揭示课题：今天，我们就一起来研究长方体和正方体的体积。板书：长方体和正方体的体积。
【设计说明：教师的提问，引发学生的思维矛盾，激发他们进一步探究的欲望；教师的提问不断地激发每一个孩子探究的兴趣，同时又照顾到每个层次的孩子。孩子们为了解开心中的矛盾，主动参与，主动思考，从关注现象到关注本质，让学生体验到了严谨的数学思考带来的乐趣。】
三、探索活动，推导公式
出示6个长方体（长宽相等高不等的长方体，有长高相等宽不等的长方体，有宽高相等长不等的长方体）
提问：1号和2号长方体谁的体积大？3号和4号呢？5号和6号呢？为什么？
谈话：猜一猜，长方体的体积可能与哪些因素有关呢？（学生猜测：长 宽 高。相机板书）这只是同学们的猜测，它需要我们进行实验验证。
1. 明确要求，有序操作。
（1）提出操作要求：用若干个1立方厘米的正方体摆成一个长方体，要求四人小组内每人摆出的长方体各不相同。然后将摆出的长方体放在桌子上，并编号。
（2）学生操作。
2. 观察物体，记录数据。
（1）出示例9前半部分表格，并提问: 你能看出这些长方体的长、宽、高各是多少吗？
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长/cm |
宽/cm |
高/cm |
长方体① |
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长方体② |
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长方体③ |
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长方体④ |
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（2） 提问：怎样才能知道这些由1立方厘米的正方体摆成的长方体的体积？（数每个长方体中包含了多少个1立方厘米的正方体的个数）
依次出示后半部分表格：
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长/cm |
宽/cm |
高/cm |
正方体的个数 |
体积/cm3 |
长方体① |
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长方体② |
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长方体③ |
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长方体④ |
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（3）先在小组内互相说说，然后将这些数据依次记录在表格中。
（4）填完表格，你如果能通过观察表格，发现点什么就更好了。
在表格下面出示：“通过以上实验，我们发现 。”
3．观察数据，沟通联系。
（1）选一组到实物投影上交流，学生介绍表格里的数据。
（2）提问：我很想知道，你们是怎么看出这些长方体的长、宽、高的？
小结：因为每个小正方体的棱长是1厘米，所以每排个数就是长方体长所含厘米数，排数就是宽所含厘米数，层数就是高所含的厘米数。
（3）再问：你们又是怎样数出每个长方体里包含的正方体的个数的？
小结：先数一排有几个，再数一共有几排；算出一层有几个，再数一共有几层；最后算出一共有几个正方体。
（4）三问：小正方体的个数可以怎样求？
小结：正方体的个数可以这样求: 长×宽×高=正方体的个数
4. 引导分析，猜想公式。
（1）提问：摆成的长方体的体积与小正方体的个数有什么关系？
（2）追问：那么长方体的体积怎么求？我们来做个大胆的猜想！
板书：长方体的体积=长×宽×高？
【设计说明：教师的教学活动要引发学生的数学思考，让学生学会运用数学的思维方式进行思考。课堂中的数学实验也是为了提升学生的思维水平，教师可以运用数学实验点化学生的思维，让学生的思维获得澄明、敞亮，促进学生的思维水平不断发展。刚进入新课学习，对于新的问题，学生只能凭着自己已有的经验去理解，去解决。所以，这时他们的思考往往不够全面，也不够深入，甚至会出现思维混乱。而问题的设计提出会直接影响数学实验的效果，所以，这时就需要教师精心设计问题，及时予以引导，帮助学生深入探讨，促使学生的思维在学习过程中经历逐步条理化、逻辑化。在这个环节，教师设计的这一系列问题，环环相扣，层层递进，紧扣学生的思维，引导学生的思维经历了从感性到理性、从随意性到严谨性的过程。在这样的过程中，学生的思维逐步深入。】
5. 教学例10，逆向操作。
谈话：通过刚才的操作和讨论，我们提出了一个猜想。那么长方体的体积是不是长、宽、高的乘积呢？还需要进一步的研究。
（1） 屏幕出示例10三个长方体，提问：老师也摆了三个长方体，它们的长、宽、高各是多少？你知道我分别用了多少个1立方厘米的正方体吗？你能根据每个长方体的长、宽、高来思考这个问题吗？
（2）先想一想，你怎样摆？
（3）再说一说：沿着长每排摆几个？沿着宽每层摆几排？这样一层就用了几个正方体？沿着高摆几层？
（4）再摆一摆：你能摆一摆，验证一下刚才的想法吗？
（5）逐个交流，屏幕演示摆的过程。
明确：摆出的长方体的长、宽、高分别是多少？体积是多少？这个结果与你刚才的猜想是否一致？
6. 引导想象，加深理解。
提问：如果要摆一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，你能想象出怎样用1立方厘米的正方体摆出来吗？
引导：先闭上眼睛想象一下: 一排摆几个？摆几排？这样一层就有几个了？摆几层？一共要用几个1立方厘米的小正方体？
演示验证：生边说，屏幕边演示。
7. 引导概括，得出公式。
（1）提问：在刚才的操作中，你发现了长方体的体积与它的长、宽、高有什么关系？如何求长方体的体积？擦去刚才猜想时公式后面的问号。
（2）用实例验证规律。
师：这个公式对所有的长方体都适用吗？自己再搭一个长方体验证。
生操作。
（3）出示长方体立体图，提问: 想一想,如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，你能用字母表示长方体的体积公式吗？
交流后得出：V ＝abh
（4）师：闭上眼睛想一想，求一个长方体的体积必须知道什么条件？
8. 擂台比赛，巩固公式。
（1）“练一练”第1题，将其中最后一个正方体改成3×3×4的长方体。
观察图形，说出每个图形的长、宽、高，再独立计算。交流答案后，引导学生观察第三个长方体，发现是一个有点特殊的长方体——有两个面是正方形的长方体。
（2）介绍历史记载: 我国古代数学家编撰的《九章算术》中，这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法：“方自乘，以高乘之即积尺”。
你知道这句话是什么意思吗？（就是说，先用边长乘边长，再和高相乘就得到长方体的体积）
四、利用关系，类推公式
1. 将上面第三个长方体去掉一层（变为正方体），你会求出它的体积吗？
学生口答体积。
提问：你是怎么算的？为什么可以这样算？
2. 启发引导：正方体是特殊的长方体，你能根据长方体的体积公式写出正方体的体积公式吗？
3. 学生尝试，交流后得出：正方体体积=棱长×棱长×棱长。
4. 正方体的体积公式也可以用字母来表示。但用字母表示正方体的体积公式时，还有一些特殊的地方，教材第17页对此作了详细的说明。请你打开课本来看一看。学生阅读第17页有关内容。
交流：用字母a表示棱长。V＝a×a×a，也可以写成a3读作“a的立方”，表示3个a相乘，不要误认为a与3相乘，写a3时3写在a的右上角，要写小些。所以正方体的体积公式一般写成：V=a3
【设计说明：教学正方体的体积计算，教师让学生首先利用知识迁移，根据长方体的体积计算公式和正方体是特殊的长方体这一知识点，计算正方体的体积；然后自己阅读数学书，进一步掌握正方体的体积计算公式。在这个环节，教师适当的“放一放”，这里的放手有助于提升学生的思维水平，并获得“跳一跳就摘到桃子”的成功体验。在整个学习过程中，我们只有做到有“扶”有“放”，才能促进学生对新知的理解和把握，提高学生的能力水平。】
5. 巩固练习。
“练一练”第2题：先让学生选择几个式子说说其表示的意思，再口算。
6. 回想一下，为了得到长方体和正方体的体积计算公式，我们经历了哪几个步骤呢？
【设计说明：数学实验的课堂主要是让学生动手做数学，在做中学，在做中思，从而提高课堂效率。但如果只是让学生“做一做”，那他们面对的只是一个个独立的知识点，这时他们的思维是肤浅的，活动经验是感性的，局限于此的话，他们的知识经验或许过一段时间就会忘了。所以，要让这样的教学真正有效，教师一定要在学生活动之后让学生对之前的学习过程进行反思，特别是活动中的探究方式、重点难点、疑问困惑等等作再次回顾，教师适时加以提炼总结，帮助学生从中回味、领悟，引导学生体会数学知识背后隐藏的数学本质，感悟其中蕴含的数学思想，学生才会把数学活动经验升华为数学的理性认识，从而达到经验内化的目的。实验结束后，教师进行简单的回顾，把这节课的活动经验留在学生的脑海中，种在学生的心田里，帮助学生感悟数学思想方法，积累数学活动经验，让学生学会从研究一节课到研究一类课，让研究不再是走过场。】
五、运用公式，解决问题
1. 做“试一试”：算出两个包装盒的体积。
先让学生说说长方体的长、宽、高各是多少，正方体的棱长是多少，再让学生独立计算。交流时，注意让学生先说说长方体和正方体的体积公式，再说说是怎样列式的。
2. 刚才我们一起计算了两个包装盒的体积，在包装盒上还有一些与今天学的知识有关的信息呢。出示长方体包装盒，根据乘法式子说说这个包装盒的长、宽、高，并计算体积。
3. 其实，长方体和正方体的体积在生活中运用的很多，让我们一起来看一看。出示：
品名：正方体收纳凳
尺寸：30×30×30
材质：涤纶+PP不织布+纤维板
颜色：黑白
师：你能看懂这个说明书吗？
师：这个算式表示什么意思呢？
师：如果要往这里放一个长40cm宽20cm高10cm的玩具箱，能放入到收纳凳里吗？
师：看来不能光比较体积的大小，还要联系实际情况，看看长宽高是否都符合要求。
六、拓展延伸，发展思考
1、智慧屋：这个大盒子能装几个这样的正方体？怎么解决这个问题？
2. 呼应开头。
（1）解决开头问题：火柴盒的体积是12立方厘米。
（2）再次设疑：又来了一个长方体，它的体积也是12立方厘米，它的长宽高分别是多少？
七、全课总结。
八、板书设计
长方体和正方体的体积
长方体的体积=长×宽×高
V＝abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V＝a3