围绕概念核心内涵 精致概念教学过程

——“体积与容积”教学实录与评析

执教：江苏省江阴市辅延中心小学  杜海良

评析：江苏省江阴市教师发展中心  匡金龙

教学内容：苏教版义务教育教科书六年级上册第10-11页。

教学目标：

1.引导学生通过观察、实验、比较、操作等数学活动体验空间、理解体积和容积的概念及其关系，并掌握比较体积大小的一般方法。

2.通过活动使学生进一步积累“空间与图形”的学习经验，发展空间观念，培养想象能力与数学思维能力。

3.使学生感受到数学与生活的密切联系，培养学生初步的数学应用意识，并在探究过程中获得积极的数学情感体验。

教学重点：体积与容积的概念。

教学难点：建立体积概念、把握体积与容积概念的关系。

教学准备：杯子、石块、橡皮泥、量杯、铁块、正方体盒子、教学课件等。

教学过程：

 

一．初步认识体积

1．体验空间

（1）感知空间的存在。

师：同学们，看这有个杯子。这是3块大橡皮，我先装进去，这里还有些加了红墨水的水，能倒一些进去吗？

生：能。

师：为什么？

生：杯子里还有空的地方。

师：象这样杯子里还有空的地方，我们就可以说杯子里还有空间。（板书：空间）

师：好，我们一起来倒。（教师往杯子慢慢倒水）

师：还能继续倒吗？

生：能。

师：为什么？

生：杯子里还有剩余的空间。

师：现在呢？

生：能。

师：现在呢？

生：能。

师：而且，被子里剩余空间正越来越……

生：小。

师：现在呢？（水已倒满）

生：不能了。

师：为什么？

生：杯子里没有剩余的空间了，再倒水就要溢出来了。

（2）体悟空间的三维特征

师：大家对空间有点感觉了吗？

生：有了。

师：那谁来说说，生活中哪里有空间？

生：我睡的房间有空间。

生：箱子里有空间。

生：盒子里有空间。

师：大家说的不错，我也来说几个。

师：请大家把双手轻轻的放在课桌的桌肚里，请问桌肚是一个空间吗？

生：是的。

师：这是怎样的一个空间呢？我们一起静静的来感受一下……

师：双手先左右摸一摸，感受下这个空间大约有多长，再伸进去摸摸，感受下有有多宽？最后上下摸摸，感受下大约有多高。

师：好，我们再一起来比划下：桌肚空间大约有——这么长、这么宽、这么高。

师：再看，我们上课的会场是不是一个空间？

生：是的。

师：这个空间也有长度、宽度、高度吗？

生：有的。

师：嗯，虽然它是不规则的，但同样有。

师：我们一起来指一指。（师生一起指会场空间的长度、宽度、高度）

……

师：看来，甭管是怎样的空间，其实都是有长度、宽度、高度这三个维度的。

师：（媒体出图）看，这辆汽车内有没有空间？

生：有。

师：（媒体出图）是啊，没有的话我怎么坐进去呢？

师：（媒体出图）再想象一下，整个宇宙是不是一个空间？

生：是。

师：是啊，其实我们都生活在宇宙这个大空间之中。

【教学评析：“空间”是体积概念的核心内涵，从一维的“长度”，二维的“面积”，到三维的“空间”（体积），是学生对空间图形认识的飞跃。因此，学生对“空间”、“空间的三维特征”的认识程度，决定了学生对“体积”这一概念认识的深度。但“空间”是“空”的、十分抽象，连张奠宙教授都说：“空间不好懂，它比体积本身更难懂。”如何在有限的时间内，有效的帮助学生认识这既重要而又难学的空间呢？在这里，教师分三个层次组织进行教学。教师首先拿出的是已经装了点东西的杯子让学生观察是否还能加水，这样做的意图是想让孩子们有对比的看出“空隙”，从而显性的感知到空间的存在，这是第一层次；第二，通过倒水的过程，让学生动态的看到剩余空间正越来越小的过程，加深对空间的体验；第三，通过摸一摸桌肚空间的长度、宽度、高度，指一指会场空间的长度、宽度、高度，想一想小轿车、整个宇宙的空间等等，让学生真切的多角度的感受到空间有大小以及空间有长度、宽度、高度这三个维度的特征。这样三个层次的活动，“空”而“隐”的空间，这一体积概念的核心内涵就比较清楚、显性的让学生感受到，从而为下面体积概念的揭示打下了坚实的基础。】

 

2．认识体积

师：再来看这两个同样的杯子，都装满水。依次投入这两颗大小不同的石子，会发生什么现象？请注意观察。（师演示）

师：你看到了什么？

生：大石子这边溢出的水多。

师：透过现象想本质，大石子这边溢出的水多又说明什么呢？请先自己静静的想，再在小组内互相说一说。

师：谁来说？

生：说明大石子所占的空间大！

师：是啊，正是因为大石子比小石子所占的空间更大，所以才把更多的水从杯子里挤了出来。

师：（媒体出示：大石子所占空间比小石子所占空间大）我们一起来读一读。

生：（读）

师：“所占的空间”在我们数学上还有一个名字，你知道叫什么吗？

生：体积。

师：是的，在我们数学上就是把“物体所占空间的大小叫做物体的体积。”（板书：体积的概念）

【教学评析：在认识空间之后，体积概念只是给出数学定义即可。在这里，教师通过让学生透过现象想本质，对“大石子溢出的水多又说明什么”这一问题的思考、交流，学生很自然的能想到是所占空间，而把所占空间的大小简单说就是体积，这样体积概念的揭示就显得水到渠成。而且，这样的教学把学生提升为知识的发明者，“体积”这个词是学生凭借自己已有的经验自发说出的，虽然以前他可能只是听说过这个词，对体积的认识是模糊的。但今天他能比较清楚的意识到，大石子这边溢出的水多，是因为大石子所占空间大，而所占空间的大小原来就是体积。】

二．深化理解体积

1. 回扣

师：大家懂体积了吗？

生：懂了。

师：（师拿出一苹果）那谁来说说什么是这个苹果的体积？

生：苹果所占空间的大小就是苹果的体积。

师：（师再拿出一个梨）这个梨的体积又指的是什么？

生：梨所占空间的大小。

师：（师把苹果、梨一起举手上）放一起比一比，他俩体积谁大？

生：苹果。

师：为什么这么说？

生：因为苹果所占的空间更大！

师：（媒体出图）这还有个哈密瓜，现在谁体积最大？

生：哈密瓜。

师：又是怎么知道的？

生：因为哈密瓜所占的空间最大。

师：看来，看一个物体的体积大小，要只要看什么？

生：看它所占空间的大小。

师：是啊，所占空间大，体积就大。

 2．重量

师：我这有两件物品，我要请一个同学上来比比体积大小，谁来？

（师挑一学生上台，面向大家双手侧平举）

师：老师给你戴一副“眼镜”（眼罩），下面同学允许看，但不许出声。

（师给学生双手分别挂上一泡沫块与一铁块）

师：这位同学，你现在右手挂有一个物体，左手也挂有一个物体，你觉得哪个体积大？

生：右边（铁块）。

师：确定吗？

生：确定。

师：（师给学生摘掉眼罩）现在看看呢？（全场学生哈哈大笑）

生：这个（泡沫）大。

师：通过这样一个实验你有什么话要告诉大家？

生：重的不一定体积大。

师：看来，比较体积，不能简单的看重量。

师：果然是吃一堑长一智！掌声送他回位。

3．形状

师：那这两块橡皮泥（柱形，大饼形）你觉得哪块体积大？

师：我们来举手表决：认为这块大（柱）的举手。

生：（约十几位同学举手）

师：认为两块体积差不多大的举手。

生：（约二十几位同学举手）

师：认为这一块（饼）大的举手。

生：（没有人举手）

师：诶，我奇怪了，明明这块橡皮泥的表面看上去很大啊，怎么不说它体积大呢？

生：因为它薄。

师：是啊，体积就是物体所占空间的大小，而空间是三维的，所以我们要从长度、宽度、高度综合看，不能只看表面的大小。

师：事实上，（边说边捏）这两块橡皮泥捏一下，感觉怎样？

生：差不多。

师：是啊，它们其实都是由同样大的两块橡皮泥捏出来的，虽然形状变了，但体积会不会变？

生：不会。

师：嗯，它们体积是相等的。

4.小结

师：通过刚才的两个活动，我们知道了看体积不能简单的看——

生：重量。

师：也不能简单的看——

生：表面的大小。

师：那如果给我们两个物体，该怎么比较体积大小呢？有哪些比较方法？（板书：比较方法）下面我们一起继续研究。

【教学评析：在前期的前测中，我们发现学生很容易把物体的体积与物体的重量与表面大小混淆，如何能使学生对体积概念的理解更准确？教师在这儿进行了正反两个角度的教学。首先对“什么是苹果的体积？”“什么是梨的体积”的讨论，夯实学生对体积即所占空间大小的理解。然后通过比较苹果、梨、哈密瓜的体积大小，让学生进一步明确看物体的体积大小，就只要看所占空间的大小，所占空间大的体积就大，这是从正面角度对概念的强化认识。接下来是从反面角度，通过掂不同物体的重量比体积，观察两块形状不同的橡皮泥比体积，让学生深化对体积的认识：体积大小不能简单的看重量与表面的大小，而是要看所占空间的大小。而且这儿设计的两个活动：“掂重量”、“看形状”趣味盎然，学生在轻松愉悦的氛围中，从一不小心“上当”的笑声中，深深的体会到“体积”不能简单的看“重量”与“表面大小”。】

三．比较体积大小

1.观察法：

师：看，这是什么？

生：胡萝卜。

师：这个呢？

生：莴苣。

师：他俩体积谁大？

生：胡萝卜。

师：确定吗？

生：确定。

师：是啊，生活中很多物体的体积大小，我们只要通过眼睛观察观察就能比较得出，这种 “比较方法”如果取个名，你觉得叫什么法就行？

生：观察法。

师：是啊，观察观察就知道的方法就叫观察法。（板书：观察法）

师：刚才我们比较苹果、梨等的体积时其实就用了观察法。

2．水测法

师：小莴苣比不过胡萝卜，换根老莴苣。现在他俩体积谁大？ 还能一下子确定吗？

生：不能了。

师：看来，得想新方法。谁有？

生：把它们切切小

师：想法不错，不过因为胡萝卜、莴苣形状不规则，不大好切吧？继续想。

生：称重量，额不，量长、宽、高。

师：的确，因为是不同的物质，不能简单的比重量。

师：量长、宽、高是个不错的主意，他已经学会用三维的视角来看体积。不过，计算的方法我们暂时也还未学。继续想！

生：放在水里比。

师：大家觉得这个方法可行吗？

生：行。

师：好，我做你的助手，请你来比给大家看。（邀学生上台）

师：这是我为你准备的道具（师拿出两个量筒），大家看，里面的水面高度相同吧？

生：相同

师：请你开始

（生依次把胡萝卜、莴苣投入两个量筒中，莴苣水面上升的高一些）

师：谁大？

生：莴苣

师：虽然相差的不是很多，但我们还是可以很负责任的告诉别人，莴苣的体积要大一些。

师：这样的方法妙不妙？也取个名吧，叫什么法？

生：实验法。

生：比较法。

师：而且，关键是我们通过谁的帮助来进行实验比较的？

生：水。

师：那我们干脆就叫“水测法”吧。（板书：水测法）

师：2000多年前，也有人巧妙的使用这个方法，解决了一个大难题。请听：……

（放视频：阿基米德与王冠的故事）

师：同学们，阿基米德用的是什么方法？

生：水测法。

师：你们跟阿基米德都是英雄，英雄所见略同！掌声送给自己！

师：我们也用这水测法，比较两个鸡蛋体积大小行不行？

生：行！

师：两个土豆呢？

生：行！

师：两块铁？

生：行！

3．计数法

师：这两个盒子？（师拿出两个纸包的盒子）

生：不行了，会湿掉的。

师：大家考虑的很周全。的确，这里面装的物体一点儿都不能进水？所以，水测法也不好用了。

师：看来又得想新方法了，谁又有什么妙法？

生：把它们分割成同样大的小块。

师：大家觉得行吗？看！（师撕去包装的纸，如下图：）

 

 

 

 

师：里面原来是火柴，所以不好放水里。

师：谁大？看出来了吗？

生：你右手的大。

师：为什么？

生：右手的有12块，左手的是10块，而且每块是一样的。

师：嗯，大小一样，只要数数就行了！你们说这种方法好不好？

生：好！

师：也给这种方法取个名吧？

生：分割法。

师：取得真贴切，两大块不好比，分割成同样的小块再比，就叫“分割法”。（板书：分割法）

师：同学们，目前我们学了几种比较体积大小的方法？

生：三种。

师：分别是……

师：大家表现非常的棒！继续我们的学习。

【教学评析：这一环节通过教学体积大小的比较方法：“观察法”、“水测法”、“计数法”，既进一步加深了学生对体积的认识，又使学生系统地掌握了一般比较、测量体积的方法。而且“计数法”为学生后续学习体积单位打下了坚实的基础，“每一块大小一样”就是体积单位立方厘米、立方分米、立方米的原型，数量多的体积就大。而长方体体积公式长×宽×高，其实就是用一行的个数×行数×层数算出有几个体积单位，其实就是计数的过程。而“水测法”即进一步巩固“物体所占空间”的理解，也为学生解决一些不规则物体的体积计算积累了经验。而且为了加深学生印象，教师在每个环节的开始都创设了一个情景，力求层层设疑、步步深入，引导学生自主探索比较方法，充分调动学生的思维与情感，使学生全身心投入。】

四．认识容积

1．容积意义

（1）容器

师：（师拿出两个一样的正方体盒子）这还有两个棱长一样的正方体，体积相等吧？

生：相等。

师：这两个正方体分别被我掏了一个洞。看！

师：这洞里面可以装东西吧？比如我装个梨。

生：可以。

师：这两正方体都可以装东西了，就成了两个容器（板书：容器）。

（2）实验

师：现在我用这两个容器来装米，你感觉几号容器装的多?

生：（自由说）

师：不好确定，干脆我们一起来装一装吧，大家帮我一起数。

（实验：1号容器装了3杯，2号容器装了3杯半，两个容器都盖上盖子）

（3）容积概念

师：几号容器装的米多？

生：2号。

师：透过现象再想本质，装的多的还能说是2号容器体积大吗？

生：不能。

师：那该说成什么了呢？

生：容积。

师：是呀，容器装米的多少，也就是容器所能容纳物体的体积就是这个容器的容积。（板书容积概念）

师：谁来说说什么是1号容器的容积？

生：1号容器所能装的米的体积。

2.联系比较

师：今天，既学了体积，又学了容积，会混淆吗？

生：不会。

师：那谁来说说：2号容器的体积指的是什么？容积又指的是什么？同桌先互相说一下。

生：……

师：2号容器的体积指的是什么？

生：2号容器所占空间的大小。

师：容积呢？

生：2号容器所能装的米的体积。

师：那还是看整个的空间大小吗？

生：不是。

师：只要看哪里的？

生：容器里面的。

师：大家说的非常好，我们一起来理一遍：

师生：2号容器的体积是——整个容器所占空间的大小，而容积是容器——内部空间的大小）。

3.全课总结

师：对体积与容积，大家清楚了吗？

生：清楚了。

师：大家语文课上学过造句吧，今天数学课，我们也来造句。

师：屏幕上是一台冰箱，谁能就冰箱这个物体，用今天学的体积或容积来造一个句子？

生：冰箱所占空间的大小是冰箱的体积。

生：冰箱内部空间的大小是冰箱的容积。

生：冰箱的体积大于它的容积。

师：（媒体出示体积图与容积图）额，从图上我们就可以直观的确定，冰箱的体积的确大于它的容积。

师：理解了上面的几句话，大家其实已经理解了我们今天学习的《体积与容积》这节课的主要内容，除了这些，你还有别的收获吗？

生：我们还学到了比较体积大小的方法。

师：额，大家收获还不少。

【教学评析：容积与体积是有紧密联系的，所以在有了前面的空间与体积的认识后，容积的概念教学关键是凸显出与体积的联系与区别。在这儿首先呈现两个体积相等的正方体，在变成两个容器后，通过哪个装的多的实验，及“装的多还能说是体积大吗？那该叫什么”的设疑讨论，自然清晰的使学生认识容积。然后通过“2号容器的体积指的是什么？”“容积又指的是是什么？”两个问题的讨论交流，让学生清晰的认识到容器的体积是整个容器所占空间的大小，而容积是容器内部空间的大小，从而凸显出“体积”与“容积”本质都是指空间大小。需要特别指出的是，这儿的两个正方体容器，看外面：体积相等，看里面：容积不相等，设计巧妙、教学展示细腻，给学生了解“体积”与“容积”的关系留下了深刻的印象。】

五．生活应用

1．理解“所能容纳”

师：刚才上课前，我买了一瓶饮料，喝了一些还剩这么多（媒体出图）。

师：这里也有我们今天学习的学问。

师：比如：现在瓶子中饮料的体积是瓶子的容积吗？

生：不是。

师：为什么？

生：瓶子的容积应该是瓶子正好装满时饮料的体积。

师：对啊，正好装满，不多不少时饮料的体积才是瓶子的容积，这也就是“所能容纳”的意思（指着板书说）。

2.区分体积与表面积

师：大家喜欢搭积木吧？小杜老师的孩子，小小杜同学用四块同样大小的正方体积木搭出了这两个长方体（媒体出图），这其中同样有我们今天学习的学问。

                     

师：这两个长方体体积相等吗？

生：相等。

师：为什么？

生：它们都是有4块同样大小的小正方体搭成的。

师：它们都由四个“小体”组成，所以体积相等。

师：体积相等，表面积呢？也相等吗？

生：（迟疑）

师：先自己数数看。

……

师：相等吗？

生：不相等。

师：为什么？

生：            有18个面，        只有16个面。

师：它们分别有18个“小面”与16个“小面”组成，表面积不一样大。

师：这两个长方体，带给我们什么启示？

生：体积相等不一定表面积相等。

师：说的好！体积其实数的是有多少个这样的——

生：“小体”。

师：而表面积数的是有多少个这样的——

生：“小面”

所以我们要注意体积与表面积的区分。

3．拓展延伸

师：同学们，我们知道：刚才说的石头、橡皮泥、胡萝卜等等都是固体，它们要占有空间，有体积大小。

师：而水呢是液体，同样占有空间，有体积。

师：那我们知道生活中除了固体和液体还有什么？

生：气体。

师：那气体，比如空气，你觉得：有体积吗？

（举手表决，全班同学都认为空气有体积）

师：谁能来证明空气有体积？

生：用气球。

师：请你来。

（一学生上台吹气球）

师：大家说，气球为什么变大了？

生：因为里面吹进气了。

师：如果吹进去的气没有体积，不占有空间，会把气球皮撑大吗？

生：不会。

师：由此，能证明什么？

生：空气也有体积。

师：看来，生活中，不管是固体、液体还是气体，都要占有空间，都有体积。

【教学评析：这一环节通过生活实例，帮助学生进一步夯实对新知的理解。通过对“这时瓶子中饮料的体积是瓶子的容积”的讨论，帮助学生准确领会容积概念中“所能容纳”的准确含义。通过“四块积木搭出的两个长方体”的讨论，进行体积与表面积的比较辨析，使学生深刻的认识到“面”与“体”的不同，对体积、容积的概念认识更加清晰、完善。同时，通过最后对“空气有没有体积”的辨析与验证，使学生认识到生活中除了固体、液体，气体也有体积，这样对体积概念的外延认识就更科学、全面。】

 

【教学总评】

数学概念不仅是小学数学基础知识的重要组成部分，也是培养和发展学生数学能力的重要内容。学生学习概念，并非单纯的外部作用的结果，每个人对概念的理解都是个性化的，它是学生思维过程的产物，认知心理学把这一过程称为“精致”的过程。概念教学的“精致”过程，实际上就是追求对概念内涵和外延的深加工，追求对概念的主动习得和整体把握。

“体积”与“容积”是小数数学“空间与图形”中的两个重要概念，本节课，杜老师以培养“四基”、“四能”为根本，围绕概念的核心内涵，创新教学思路，注重数学实验和几何直观，层层设疑，步步深入，精致细腻的让学生对概念的内涵、概念间的辨析、概念间的联接都有了比较清楚而又深刻的认识。具体来说，有以下三个特点：

一．对概念内涵进行深加工。

概念的内涵是一个概念所反映的事物的本质属性。像“体积”这一个概念，它的内涵就是“空间大小”，因此，要理解“体积”就要先理解“空间”。然而， “空间”是“空”的，与“长度”可以摸一摸、量一量线段的长短，“面积”也可以摸一摸、比一比面的大小等相比，“空间”相对比较抽象。张奠宙教授在《从体积的定义说起》一文中就指出：什么是“空间”？很费解，比体积本身更难懂。何谓“所占”？如何衡量“大小”？……由此，我们可以看出，学生对“空间”的认识程度就决定了学生对“体积”概念的认识深度。

杜老师的教学中，首先通过“往装了东西的杯子里倒水”的实验，引领学生感知空间的存在，往装了东西的杯子里倒水，便于学生有对比的看出“空隙”，这样比直接往一个空杯里倒水， “空间”的存在感更强。然后通过摸一摸桌肚空间的长度、宽度、高度，指一指会场空间的长度、宽度、高度，学生在这样的亲身体验活动中，一起感悟空间的三维特征；最后再通过“大小石子投入水中”的实验，引领学生透过现象想本质，与学生一起提炼出空间的大小就是体积。通过这样三个环节对体积内涵的深加工，力求触及体积概念的本质，在“空间”的特征上下功夫，使“空间”不再“空”，从而比较自然、流畅、深刻的揭示了“体积”这一概念。

二．对概念辨析进行精加工。

概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有认知结构与新概念之间是否平衡。根据皮亚杰的认知发展理论，学生遇到新概念时，总是先用已有认知结构去同化，如果获得成功，就得到了暂时的平衡。如果同化不成功，就会调节、改造已有认知结构，来顺应新概念以达到新的平衡。

容积与体积都是指空间的大小，但又不同，学生常常对容器的体积与容积混淆。杜老师在教学容积这一概念时，设计了两个精致的教具：两个体积相等容积却不相等的正方体容器。通过往这两个正方体容器里装大米的实验，设置认知冲突情景：体积相等，装的却不一样多。再通过“装的多还能说是体积大吗？那该说成什么了？”问题的讨论，学生主动思考并意识到：装的多不再能说是体积大了，而应该是容积。再通过对“2号容器的体积与容积”、“冰箱的体积与容积”的对比辨析，帮助学生准确把握体积与容积两个概念的联系与区别。

数学实验是为促进理性思维，验证数学猜想，归纳数学规律，获得数学知识，解决数学问题，通过一定的方法，借助一定的素材，运用一定的手段，在数学思维活动的参与下所进行的一种数学建构过程和数学探索活动。在本课教学中，杜老师特别注重数学实验，来帮助学生理解数学、进行概念的辨析。比如在“深化理解体积的意义”阶段，杜老师设计了两个实验来帮助学生辨析“体积与重量”、“体积与面积”。第一个是请一生上台，通过蒙眼掂两个不同物体的重量来比较体积的大小，由于体积概念的抽象性，学生往往把体积等同于重量，简单的凭借重量来判断体积的大小，这时杜老师让学生摘下眼罩，学生看到具体的实物后，惊觉自己的判断有误，在强烈的认知冲突中体会到：铁块虽然很重，但体积小，泡沫块虽然很轻，体积却大，说明体积大小不能简单的看重量。第二个是让学生比较柱形与饼形的两块橡皮泥的体积，通过这一问题情境，把学生带入了一个“愤”、“悱”境地，诱导学生去观察、对比、思辨。此时，教师又及时将橡皮泥还原，将学生从困境中解救出来，学生在这样的实验中，逐渐剥离了“形状”这一体积大小的非本质属性，真正清晰了体积的本质内涵。

三．对概念联接进行巧加工。

数学概念具有很强的系统性。学生掌握的并非一个个零散的概念，而应该是有着相互联系的一个整体。在概念教学中，要把新概念和与之相关的概念建立起联系，把新概念纳入到学生已有的认知结构中，使之成为一个整体，这是概念教学的最终结果。这时学生习得的概念才是活的、有生命力的，才能灵活地加以运用。

“体积”与“长度”、“面积”等这些概念，都是空间与图形中的基本概念，从一维的“长度”，二维的“面积”到三维的“体积”，是学生对空间图形认识的重要飞跃。本课中，杜老师通过凸显“体积”的三维特征，比较体积大小不能光看表面大小，要以三维的视角综合看长度、宽度、高度等活动，让学生体会“体积”与“长度”、“面积”的关系：长度是边的长短，是一维的；面积是面的大小，既要看长度，还要看宽度，是二维的；体积是空间的大小，除了看长度、宽度，还要看高度，是三维的。通过这样网格化系统化的联接，学生对这些概念的理解及他们之间的关系就有了更加准确和全面的把握，对概念的认识也更加的深刻。

 

纵观全课，杜老师的课既呈现了精致灵巧的一面，全课层层设疑，环环相扣，引入入境，学生在轻松愉悦好玩的氛围中学得趣味盎然，不失为一节“灵动”的课；全课又呈现出开放深邃的一面，既深挖概念的本质内涵，又深入剖析概念间的联系，深入浅出，又不失为一节有“深度”的课。