两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
江阴市成化高级中学 黄晓勇
【授课操作流程】
【教学目标】
1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体会向量和三角函数间的联系．
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用．
3．能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
【教学重点】 两角和与差的余弦公式的推导及运用。
【教学难点】 两角和与差的余弦公式中角的一般性推广。
【教法选择】
基于学生的相关经验和认知能力，采用由特殊情形引入再向一般性过渡的方式，教法采用导研式教学法.一方面由教师通过复习已学知识唤起学生回忆，同时启发引导学生结合单位圆、数量积推导公式；另一方面充分发挥教师在语言表达、心理辅导方面的特长，通过评价激励、问题激励、竞争激励来激发学生参与课堂的兴趣.
【学法指导】
学法采用自主探究法，采用观察、归纳、猜想、证明的思路，强调主动探究，并适度采用合作学习模式，提高学生的综合能力，构建师生“双赢互利”的和谐课堂.
【教学手段】
以多媒体课件辅助教学，通过媒体展示、动手实践、小组合作、师生互动等多样化的方式来达成学生主动学习的目的，引导学生学会观察、归纳猜想、证明，提高探究能力.
【教学过程】
一、知识回顾
2.向量的数量积
3. 若向量 则
【设计意图】 新知识的习得是在旧知识基础上的重构.复习与本节课有关的基础知识，充分利用学生的认知储备，把握“最近发展区”，使原有的知识经验成为课堂探究的起点。回顾相关数学知识，可以为用向量数量积推导两角和与差的余弦公式做好铺垫，充分显示了高一数学教学低起点、小步走的特色.
二、新课引入
问题1： ；
问题2：可以用哪两个特殊角表示？
那么是否就等于
解释为何.
问题3：那么到底等于什么？
引导学生结合单位圆、向量数量积公式自主探究出：
问题4：
将中换做，换做，则上述关系式变为什么？
猜想： (其中是任意角)
你能用刚才的方法证明这个猜想吗？
【设计意图】 通过向量法证明学生熟悉的两特殊角差的余弦公式，让学生对推导方法有直观的感知和基本的认识，为推导一般性情形打好基础。
三、新知讲解
（1）推导证明两角差的余弦公式
证明：单位圆中，设
则
=
故
思考：以上证明推导过程是否有不严谨之处？
证明补充：设
如左图，角终边按逆时针方向旋转与角终边重合，则 ,即 ，所以
如右图，角终边按顺时针方向旋转与角终边重合，则 ,即 ，所以。
综上：
完善证明过程,加上条件：
综上所述， 对于任意的角都成立。
板书：两角差的余弦公式：
【设计意图】 在探究公式的过程中，遵循由浅入深的原则，先让学生对公式进行初步的证明，再逐步完善公式，讲明角的任意性。通过师生合作探究，使难点在递进式的解答过程中，层层突破，利用思维流程图的优越性，平淡的方法传授过程变成一个积极主动的探究活动.
（2）两角和的余弦公式
根据两角差的余弦公式，推导
提示：令
板书：两角和的余弦公式：
反思公式的推导过程，揭示其中的数学思想：
【设计意图】 通过加法与减法互为逆运算的关系，帮助学生树立对立统一的观点，提炼问题本身蕴涵着的化归与转化的思想。
思考：“用-β代替β”的换元方法体现在的图形上具有什么几何意义？
角与的终边关于轴对称，由此得出角的终边与单位圆的交点
你能尝试利用向量的数量积推导出两角和的余弦公式吗？（课后学生自主证明）
【设计意图】让学生体会数形结合的思想，并由此诱发向量法直接推导的思路。
公式理解：
注：1.公式中两边的符号正好相反；
2. 公式右边的式子先“余余”，再“正正”；
3. 公式中的角α、β是任意角。
【设计意图】 分析公式特征，总结规律，帮助学生进行公式的记忆、区分。
四．新知应用
例1. ① 利用公式求cos75°、cos105°的值
【设计意图】 以学生讲述、教师板书笔录的方式来展现规范的解题格式，培养了学生的解题规范.此题是对公式的直接应用，目的是让学生熟练两角和与差的余弦公式，角的拆分的思想，体现了变换的多样性，也让学生体会把非特殊角转化为特殊角的思想。
②利用公式，得结论
【设计意图】 让学生再次体会代换的思想，引导学生发现诱导公式可用得到证明，诱导公式的再学习，为下面的③、④做好铺垫。
③逆用公式，化简求值：cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°.
④逆用公式，化简求值：sin20°cos25°＋cos20°sin155°.
【设计意图】公式的逆用、变用，目的为加强学生对公式的理解与应用，培养学生的逆向思维和化归能力。
例2、 已知
变式1：已知 ，求；
变式2：已知求
【设计意图】 此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。
五、归纳总结
1.探究的方法：用向量的数量积的定义和坐标表示进行推导；
2.探究的结果:
3.结果的运用:
规律：公式右边的式子先“余余”，再“正正”；符号相反
解题时注意：公式的正用、逆用、变形用；角的范围；三角函数值的正负等。
【设计意图】 由学习主体复述课堂知识有助于将头脑中的知识结构进行提炼、帮助掌握重点内容，加深对知识的理解.教师必要的提点和补充，呈现结构化的知识体系，有助于学生的记忆，突出数学思想方法的回顾，让学生的数学学习受用一生.
六、学习展望
学习了公式，你觉得也有类似的规律吗？还有？
【设计意图】 让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解。领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题。
七． 作业布置
1．书面作业（必做题）：课本练习第1题、第2题、第3题
2．拓展思考（选做题）
你能尝试利用向量的数量积推导出两角和的余弦公式吗？
【设计意图】 不同层次的作业适合不同程度的学习者，体现尊重个体差异，分层落实目标的教学原则.作业1重在巩固基础知识基本技能.作业2旨在促进知识的建构和内化，为后继的学习作了铺垫.
八． 板书设计
电子白板
课题：两角和与差的余弦
两角差的余弦公式
两角和的余弦公式
例题1
例题2
变式练习
【设计意图】 板书内容重在呈现课堂重点，力求“简洁、直观”，具有示范性和启发性，方便学生练习参考.