一、【问题提出】

从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列的一个子数列.等差数列和等比数列是高中数学的重要内容,也是高考说明中的两个C级考点,其难度水平不言而喻.通过对数列考题的梳理，发现在等差数列中探究等比子数列是常考问题之一.本文力求给出解决该类问题的一般思路和方法,供大家参考.

二、【问题解决】

例1 等差数列的通项为,数列中是否存在不同的三项（按原来的顺序）成等比数列？数列中是否存在无穷等比数列子数列？

【解题分析】写出数列的一些项：1，4，7，10，13，16，19，……，观察可以发现，其中1，4，16成等比数列，即,,成等比数列，且公比为4.是否存在无穷等比数列子数列,只要判断在上面的等比数列，即首项为1,公比为4的等比数列中任意一项都是等差数列的项.

【解法】由得,,，所以存在不同的三项成等比数列，且公比为4.下证等比数列的第4项也是等差数列中的项，记是数列的第四项，则，而，所以，同理，可以算得等比数列的第五项，其中，……，依次可以得到下一项，从而一定存在无穷等比数列子数列.

【点评】1.探究数列问题常常从写出数列的前几项观察开始;

        2.说明等差数列中存在无穷等比数列子数列是通过构造等比数列的后一项,来说明该项一定在等差数列中,其中用到比例的性质,也可以从等比数列的通项入手,说明等比数列中的任意一项都在等差数列中,即由等比数列的第项是等差数列的第项列出等式，说明用表示出的一定是正整数，说明过程中需要用二项式定理.

      3.从构造等比数列的过程可以发现,只要等差数列中存在两项,其后项与前项的比为整数,则一定存在等比数列子数列.

结论:一个公差非零的无穷等差数列中, 如果存在两项，(),使为正整数，则该数列中一定存在无穷等比数列子数列.

例2 等差数列的通项为,试确定等比数列子数列公比的最小值.

【解题分析】数列的每一项都是正整数，且是递增数列，所以先确定其等比数列子数列的公比一定是不小于2的整数，再运用子数列中项的双重性建立等量关系，确定公比的最小值.

【解法】由知，，，记其等比数列子数列的公比为，首项为，则且，否则，一定存在使.

由是等差数列的第项，同时又是等比数列的第项，得

，，

所以，

由于不是3的倍数,所以当时必是3的倍数.

当时，，其中的公约数为1，从而必是3的倍数，

所以公比的最小值为4.

【点评】1.等差数列中的等比数列子数列问题，特别要关注子数列的项在不同数列中的表示；

       2. 在解决问题的过程中，用到了等差等比数列的基本性质，还涉及整除、因式分解等数论相关基础知识，本题中等差数列的各项均为整数，易得等比数列子数列的公比为正整数，实际上，一般等差数列若存在等比数列子数列，其公比也是正整数.

结论：等差数列的公差非零，如果存在等比数列子数列，则其公比是大于1的整数.

例3 在等差数列中是否存在无穷等比数列子数列？

【解法分析】先从数列中存在等比数列子数列入手,探究应该满足的条件,再考虑所得条件是否充分,从而确定等差数列中存在无穷等比数列子数列条件.

【解法】设中存在一个等比数列子数列：，，，…，其中，由前三项成等比数列可知，显然，从而有是存在一个等比数列子数列的必要条件；

反过来，如果，不妨设且，取自然数，使①，

设②，③，由②-①知：，取，则，，由③-②知：，.

由归纳法知，其中，.

所以子数列成等比数列.

【点评】探究存在性问题，一般先从存在入手，寻找结论的必要性，特别是从前三项去确定条件是一种自然的思路，但必须确定条件的充分性.本题中，充分性的确定也是采用的构造法，实际上是从同号的项开始，确定两项，使得两项之比为整数.

结论：1.等差数列中存在一个无穷等比数列子数列的充要条件是.

      2.公差为()非零等差数列中，则其一定不存在等比数列子数列.

三、【真题链接】

1.已知是等差数列，是公比为的等比数列，，

（1）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；

（2）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

2.求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

四、【练习】

1.在公差不为0的等差数列中,,,,恰好为等比数列的前四项,则=___.

2.若等差数列中，公差,,求所有的公差的值,使,,,,…,,…成等比数列，其中.

3.设等差数列的通项公式为,若从中抽取一个公比为的等比数列,其中,且,,求当取最小值时,的通项公式.

参考解答：

1.m=27;

2.由得，化简得

的可能取值为.

当时，，，另一方面，，矛盾，故不成立.（此时）

同理，成立.

3.，，

  ，

由前面的讨论可知，公比的最小值为2，所以.