一、问题背景

数列作为一种特殊的函数，经常会与不等式相关内容（如一元二次不等式、基本不等式）以及数列的单调性等有机联系，也会出现与数列有关的不等式题型．

二、常见的思想方法

等价转化思想、化归思想等，具体方法有作差比较法、作商比较法、放缩法等．

三、范例

例1 已知数列满足：．

   （1）证明：数列为单调递减数列；

（2）记为数列的前数列项和，证明：．

  【思路】本题考查的是数列递推公式与单调性、不等式性质等知识点．不等式证明过程中的放缩技巧对思维程度要求较高．

  【解答】（1）显然恒成立，

         因为，

         所以，即数列为单调递减数列．

（2）因为，

        所以当时，，即，故．

        因为，

        故，

        所以，即．

例2 已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．

【思路】（Ⅰ）可以用基本量法或者递推关系求解；（Ⅱ））由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值；（Ⅲ）特殊情况时成立，当d＞0时，求出公差d的范围再结合整除求出其值．

【解答】（Ⅰ）方法一：设数列的公差为，数列的公比为．

因为

令分别得，，，又

所以即，

得或，经检验符合题意，不合题意，舍去．

所以．

  方法二：因为     ① 

对任意的恒成立

则（） ②

①②得，又，也符合上式，所以

由于为等差数列，令，则，

因为为等比数列，则（为常数），

即对于恒成立，

，所以．

又，所以，故．

（Ⅱ）由，得，

设，则不等式等价于．

∵，且，∴，数列单调递增．

假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则

①当为奇数时，得；

② 当为偶数时，得，即．

综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．

（Ⅲ）易知d=0，成立．

当d＞0时，，

，

，

，

，

，

又，，

，，所以公差d的所有可能取值之和为．

四、练习

1．已知数列中，，，2，3，….

（Ⅰ）求证数列是等差数列；

（Ⅱ）试比较的大小；

（Ⅲ）求正整数，使得对于任意的正整数恒成立．

  2．在数列中，，，，其中．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．

（3）已知当且时，，其中，，，，求满足等式的所有的值．

  3．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围；

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

五、练习解答

1．【思路】（Ⅰ）由两边同除以构造，再由等差数列的定义证明．（Ⅱ）由 及（Ⅰ）求得，再构建与作差比较．（Ⅲ）从入手构建，进行探究．

 

【解答】（1）∵，∴，又，

即数列是以0为首项，1为公差的等差数列．且．

（Ⅱ），∴，

∴

，∴．

（Ⅲ）∵，∴，

，

，

①当时，，

②当时，∵，

∴．

又，∴，由①②得，

即对于任意的正整数恒成立，故所求的正整数．

2．【思路】第（1）题利用定义；第（2）题利用反证法；第（3）题利用估算与逻辑推理相结合来解题．

【解答】（1）因为，

     所以数列是公差为1的等差数列．

  （2）假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第项，由（1）得，，，，又为偶数，为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．

  （3）由（2）得等式，可化为，即，

．

当时，，

，，，，

当时，．

   当，，，，时，经验算，时等号成立．

3．【思路】第（1）题利用等比数列的定义证明；第（2）题只需证明不等式左边的最小值大于,接下来研究左边和式的单调性，最后转化为求解；第（3）题假设存在第n项最小满足，求解关于n的不等式得第5项最小．

 

【解答】（1）∵，

∴，

∴数列是等比数列；

（2）∵，∴ ， ，

不等式化为：对任意正整数恒成立．

设，

因为，∴ 数列单调递增，，要使不等式恒成立，只要， ，得，∴的取值范围是．

（3）∵，∴，

假设中的第 项最小，由 ，，∴，

当时，有，由可得，即，∴，，或（舍），

∴，即有，

由，得，    又，∴；

故数列中存在最小项，最小项是．