设点or设直线？三思而后行
江苏省南菁高级中学 张琳
在解析几何的学习中，直线与圆锥曲线的关系是高考的重点和难点，因此经常会出现圆锥曲线弦的问题。这类题目往往计算量大，运算复杂，通过直接设交点坐标，还是通过设直线方程来产生交点坐标，使很多学生大伤脑筋，由于不能一下找到解题思路，在考场上浪费了时间，还造成了无谓的失分，留下了很多的遗憾。如果能好好研读问题，进行对比，根据题目特点进行巧设，必能事半功倍，决胜于考场。
例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.
解析:(方法一:设直线)设过点的直线方程为,代入椭圆方程得
(恒成立)
设直线与椭圆的两交点坐标为,由韦达定理可得
，解得，求出直线方程。
（方法二：设直线与椭圆的交点）设直线与椭圆的交点为，
为的中点，
又在椭圆上,则，.
以上两式相减得.
即.故所求直线的方程为.
点评：这是一道经典的中点弦问题。但通过这道题我们可以体会到，其实在处理圆锥曲线弦问题是最关键的直线与曲线的交点，法一通过设直线方程代入来体现“交点”，代入时运算量大一些，但思路顺畅；法二是直接通过设点，利用“交点”来列方程组，难就难在如何解方程组，处理得不好运算量更大。此题采用的技巧是对二次方程作差，俗称“点差法”，减少了运算量，但思维要求更高。
例2、（2013南京、盐城一模）如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆
经过点,椭圆的离心率,分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.
SHAPE \* MERGEFORMAT
x |
y |
O |
|
解析: (1)椭圆方程为.
(2) 设直线的斜率为，，，由题直线的斜率为.
联立直线与椭圆方程： ，
整理得，得，用代，得，
整理得，
又
=，
所以为定值.
点评：这道题目第二问上手不易，很难一下子出击，题中求的是直线的斜率，交
点坐标避无可避。如若直接设出，利用条件列出方程组，要得到的值技巧强，运算量大，如果是通过设直线，需要我们思考的是这道题出现了三条直线到底设哪一条?如何设？如果设由于直线方程没有任何条件，再联立椭圆方程，和上述设点方法的运算量是一样的。再次研读题目，是定点，两点的坐标的变化随着直线变化而变化，因此我们应该设这两条直线，引进的斜率，才能使此题能够“算的下去”，方可柳暗花明。通过这道题我们体会到，过曲线上一定点，通常我们可以通过设出过这一点直线，利用韦达定理得到另外一个交点的坐标，最后解决问题。
例3、(2013常州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，分别是椭圆的左、右顶点，且
.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，为椭圆上的动点（异于点），连接并延长交椭圆于点，连接并分别延长交椭圆于点，连接，设直线的斜率存在且分别为，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
|
解析：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.
设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.
三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.
点评：此题绝对是解析几何中的难题。感觉设直线与设点都工程浩大，因此好多同学望而却步，只能放弃。细细品味之，会发现这道题中蕴含了常见的模型。题目中共有六条线与椭圆相交，三个三点共线，四个交点，图形错综复杂，如何利用是关键。此题最关键的就是这四个交点。要解决题目所给问题，必须把四个点坐标的关系找出来，如果是引进直线，从过定点或者的直线入手，但发现算不下去，单纯利用韦达定理解决不了问题，必须用求根公式，运算量非常大。如果设点，四个点都为未知，如何来寻找它们之间的关系就是关键。观察图形，之间的关系类似于例2的模型，把看作定点，随着直线方程的给出，与点的坐标之间的关系顺势而出，突破了这一点，后面的运算也就水道渠成了。
巩固练习：(2012.江苏)如图, 在平面直角坐标系中, 椭圆的左右焦点分别为F1(−c,0), F2(c,0), 已知点(1,e)和(e, eq \f(\r(3),2))都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
y |
F1 |
F2 |
A |
B |
x |
O |
若， 求直线的斜率.
解析：（1）
（2）分析：可以直接求，也可以求出点坐标再求。
如直接设点的坐标，根据条件可列四个方程组
，解出点坐标，得到的斜率。此种方法运算量大。
若引进直线斜率直接求，由于不是相交弦，要结合题意，把这两段弦长表示出来，必须求出点的坐标，利用求根公式，解无理方程，运算量也不小。
y |
F1 |
F2 |
A |
B |
x |
O |
|
解析：设直线的方程为，代入椭圆方程得
（）
设
，利用韦达定理建立关于的方程。
解出，即所求为.
我们在解析几何的学习中，会碰到很多直线与圆锥曲线的综合题，如何科学的找出解题思路，设直线的交点还是直接引入交点坐标列方程组必须根据题意分析图形，一旦方向错误再掉转，必定浪费时间，因此需要对题目模型进行好好分析，与我们熟悉的基本模型做比对，然后再出重拳，必能决胜考场！
附件：
- 张琳设点OR设直线.doc 130MD5