近三年高考数学江苏卷三角、向量试题特点及应对策略
过家福1王华民2
（1.江苏省南菁高级中学214437） （2.江苏无锡市滨湖区教研中心）
高考数学江苏卷，对于三角、向量内容的考查，一般是填空题3道、解答题1道（放15题位置，属于容易题），共29分，占数学Ⅰ卷160分的18.1%．近几年江苏卷的填空压轴题，频频出现三角、向量的影子，出现多变量或多字母问题，信息量、思维强度在增大，不少学生缺乏思路，故得分率偏低．以下通过回顾近三年江苏卷三角、向量的填空题及考查要点，谈试题特点及应对策略，以期对今后高三数学复习备考有一些帮助．
1、试题再现
1.1 2014年高考数学江苏卷有关三角、向量试题及考查要点
1．已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 ．
本题考查特殊角的三角函数值，正弦、余弦函数的图像与性质，为B级要求，考查代入法和数形结合思想．属于容易题．
A |
D |
P |
C |
B |
2．如图1，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
本题主要考查利用平面向量的基本定理进行加、减、数乘及数量积运算，其中向量的数量积属于C级要求，向量的加减、数乘运算为B级要求，是一道逆向思考问题，考查数形结合和等价转化思想，考查运算求解能力．属于中档题． 图1
3.若，则C的最小值为 ．
本题是一道三角最值问题，但利用一次正弦定理、一次余弦定理，整体转化为边后，就是一道代数问题，只需结合基本不等式求解即可．正弦、余弦定理及其应用为B级要求．难度中等偏上．
4.已知，．
（1）求的值；
（2）求的值.
本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力；为B、C级要求.
1.2 2015年高考数学江苏卷有关三角、向量试题及考查要点
5. 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为 ．
本题考查向量加法、数乘的坐标运算，考查待定系数法．为B级要求，容易题．
6．已知—2，则的值为 ．
本题考查两角差的正切函数，为C级要求．通过角变换，消除差异．中等题．
7．设向量，则的值为 ．
本题主要考查平面向量的数量积、两角与差的正弦、余弦公式和正弦、余弦函数的周期性、奇偶性及对称性等知识，将两个C级要求与一个B级要求完美地结合在一起，并在它们（加数列求和）的交汇处设置，综合性强、运算量较大，属于难题．其中，三角函数的周期性是三角函数特有的性质，显然为高考的重点．
8．在中，已知,，.
（1）求的长；
（2）求的值.
本题主要考查正弦、余弦定理解三角形；为B级要求．
1.3 2016年高考数学江苏卷有关三角、向量试题及考查要点
9. 定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图像与y=cosx的图像的交点个数是 ．
本题考查正弦、余弦函数图像，为B级要求，考查数形结合思想；属于中等题．
10．如图2，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是 ．
图2 |
本题是一道多向量问题，信息量大，如何捕捉有效信息？要抓主要矛盾——基向量．选择哪两个向量作为基向量呢？如果选择来表示其它向量，则比较麻烦．选择“基”向量的原则，一是与已知向量关联性强，二是能方便表示其它向量．因此，选择，（或）较为合理，它可以把题中所有向量都轻松表示出来．为B、C级要求．
11．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ．
本题主要考查两角和的正弦、正切公式和基本不等式的应用，将这两个C级要求完美地结合起来，属于难题．其一，难在对条件和目标信息的多次提取和处理，有的需要做出选择；其二，难在综合性，需要综合运用三角变换、不等式等相关知识分析、解决问题．由于把三角问题代数化了，故思路更开阔，内涵更丰富.
12．在中，，，.
（1）求的长；
（2）求的值.
本题考查同角三角函数关系、正弦定理、两角和与差的公式．含B、C级要求．
2、试题特点
高考命题要遵循《考试说明》，在高考数学《考试说明》中提出了命题的指导思想，即要求试题具备高信度、效度，必要的区分度和适当的难度. 纵观近三年高考数学江苏卷中的三角、向量试题，较为充分地践行了这一宗旨，彰显了如下三个维度的特色．
2.1 试题突出“三基”，重点突出
命题的指导思想之一，要突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法（即“三基”）的考查．近几年高考数学江苏卷在这一点上做得比较成功．《考试说明》中对知识的考查要求依次分为了解（A级）、理解(B级)和掌握(C级)三个层次．“两角和与差的三角函数”、“向量的数量积”是高考八个C级要求的两个，近三年每年都考；在三角、向量中还有“正弦、余弦、正切函数的图像、性质，正弦、余弦定理及其应用，向量的加减、数乘运算”等12个B级要求，每年考查几个，三年全覆盖．其中，“正弦、余弦定理及其应用”和“用‘基向量’表示数量积”三年都考，这两类问题无疑是高考的重点和热点，应引起足够重视．另外，2016年第13题和2012年第10题因图形有一定的特殊性，若采用“建系”求解，则相对简洁，学生应细心体会通法与巧法，根据自身特点加以选择．从上述分析可以看出，这些试题不仅考查学生运用消元、换元等基本数学方法，也考查了学生掌握函数方程、数形结合和转化等数学思想以及目标意识、整体意识等．可见，近三年的三角、向量试题突出对“三基”的考查，重点（知识、方法）突出，热点凸显．
2.2 试题重视能力，加大信息量
命题指导思想之二，要重视数学基本能力（推理论证、运算求解、数据处理等六方面）和数学综合能力（分析、解决问题）的考查，其中数学基本能力与数学教学的六个核心素养相对应．如何在三角、向量这些传统意义下的中低档试题中进行能力立意呢？近年的江苏卷给出了较为满意的回答．譬如，从2015年第14题（见上文第7题）可以看出，它考查了两个基本能力——推理论证和运算求解，运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，提高运算求解能力的关键是“算理”，要让“思”在“算”之前，通过“思”，明确运算的方向，并对运算的结果有一定的预见性．考后访谈知：学生对于这道题存在畏难情绪，有的学生第一步用数量积公式后就觉得烦琐，因看不到希望而放弃；有的学生展开、整理到，不知如何处理．其实只要利用三角函数的周期性或图形的对称性，对这三项分别求和就能求解．这道试题的解答也给广大考生以启示：看似复杂的问题，在找对路子的前提下，一步一个脚印，就能成功，藉以提升学生学数学的信心、培养学生坚韧的意志品质．
现在已进入大数据的信息化时代，高考试题也顺应这一变化，命题时除了设置一些“三基”试题外，也设置一些信息量大、多变量（多字母）的问题，譬如，2016年第13题的条件给出了两个数量积、目标求一个数量积，超过六个向量，与以往的向量试题差异较大．2016年的第14题（见上文第14题）与2014年第14题（见上文第3题）相比，信息量大，综合性强，思维要求高，考查学生对信息的提取和处理能力（详见对试题的分析解答），考查学生运算求解能力和分析、解决问题的能力．
2.3 试题源自课本，从知识的交汇处设置
近年来，数学江苏卷有一大特色就是不少试题源于课本，在知识的交汇点改编，譬如2014年的第14题，是由《数学5》（必修）“第16页练习1：已知△ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，那么cosC等于（）（A）（B）（C）（D）”与“第88页例2”整合而成．2015年的第8题只是把“课本102页练习4的改成了”，其余不变．2016年高考第14题，是从课本中有关三角函数、解三角形、基本不等式的交汇点巧妙设计，它是由“《数学5》（必修）第17页第5题：在ABC中，已知，判断ABC的形状．”和“《数学4》（必修）第116页例4：在斜三角形ABC中，求证：．同时课本给出探究题：一般地当角A、B、C满足什么条件，能使等式成立” 和“《数学5》（必修）第88页例2：已知函数，求此函数的最小值”三题，进行重组、引伸、拓展而成．其中，如能熟练掌握课本这一经典结论，基本不等式法就很容易想到了．2016年第13题是把“《数学4》（必修）第69页例1：在ABCD的对角线AC与BD交于点M，，试用基底表示和”与“第81页感受理解题7：设是两个非零向量，如果，且，求与的夹角”整合而成，前者是用基底来唯一表示其它四个向量，后者是给出两个与有关向量的数量积为零，求的夹角，可得两个关系式，计算出和得夹角为60°．虽然该题换了背景，加了难度，但处理的方法相同．如此改编后的试题，注重联系、内涵丰富，取材源自课本、要求则高于课本．
3、应对策略
高三复习教学是一个系统工程，而解题教学是高三复习的主要形式之一，因此，如何精选问题、精讲问题和积累实战经验，无疑是解题教学的几个重要环节．以下结合近三年高考数学江苏卷在三角、向量的试题特点，谈几点应对策略．
3.1 立足教材，在选编题上狠下功夫
其一，因江苏卷的不少优秀试题均源自课本，往往是以课本习题为生长点且含有2-3个知识点的整合，是从知识的交汇处设置．因此，对于高三的解题教学，选编题方向更清晰——增多课本习题研究，摒弃题海战术，历年的高考试题具有良好的导向功能．（1）在高三“一轮”复习的解题教学中，让学生每天翻开课本，教师从课本上精选一些例题、习题，既点出解决的通法，也指出常用的巧法；（2）在备课组活动中，要专题研讨试题的编拟，譬如三角与代数、三角与向量、向量与不等式等各有哪些交汇“点”？编拟试题的注意点？如何控制难度？然后以课本为重要载体，分头编拟、再综合，这样群策群力，增多一些横向联系性的训练．其二，因高考突出“三基”的考查，对重点问题重点考查，因此高三“一轮”复习的选题，在侧重“三基”的同时，瞄准重要考点：“两角和与差的三角函数、向量数量积、用基向量表示其它向量以及向量的坐标表示”加强训练，适当拓展．其三，由于高考加大多“元”信息的考查，促使我们思考，尤其在第“二轮”复习中，要注意选择、编拟一些有一定难度的多“元”信息题，适当增加字母运算或多变量处理的问题，要有探究味，“深挖洞”．当然，要根据本校学生的实际，在立足课本、自编的基础上，学会“拿来主义”，即适当关注最新信息，搜集一点外来资料，提升备考效益．
3.2 解题教学，要讲究解题策略
解题教学在精选、精编后还需要精讲，讲究解题策略．新课标倡导数学探究，近年江苏卷注重对三角、向量问题能力的考查，这就需要探究性教学作支撑．因此，讲评能力问题要引入探究元素，探究元素有尝试、猜想、联想、判断、调整、检验（1）等．有的问题因方向不明，需要先尝试，譬如特殊值、特殊点或特殊函数，尝试后，进行猜想、验证；如果尝试失败，则需分析原因，及时调整，根据题设进行联想、转换和新的尝试．有的问题，可能有几种方案需要对比、优化，这就需要凭借一双慧眼，发现联系、及时判断、做出选择，获得成功．又譬如解决三角问题的有效策略——消除差异，解题差异论认为解题的过程其实就是消除条件与结论之间差异的过程，要消除整体与局部、数与形、多与少等的差异，解三角问题时，还要消除条件中不同角、不同（函数）名、不同次数的差异，即三角变换，它往往与消元、降次、奇次式同除联用．通过这些解题策略，不仅有益于寻求解题突破，提高学生的综合解题能力，还能给学生以兴趣和自信心.
3.3 不断积累，掌握解决问题的基本和典型方法（2）
近三年高考数学江苏卷给我们以启示：高三解题教学应追求通性通法，如多“元”问题需消元，高次问题要降次，常用代入、换元、待定系数法等方法．而学习、应试是一个不断积累的过程，有必要积累一些处理问题的基本方法（如上）．然而在高考中，处理含有不同特性、不同情形的典型问题，有一些特定的解法. 从条件、结论中获取信息，有一些自然、固定的模式，也需要在平常教学过程中不断积累． 如1986、1999、2010年三次都考查“求最大，转化为求最大，再运用基本不等式求解”的方法，是一种典型方法（ 2016年14题解答也类似），需要考生在理解的基础上积累．又如处理多“元”信息问题，关键是要关注目标，分辨出哪是主“元”，哪是辅“元”，理清脉络，然后观察条件的形式，进行必要的联想、转化，以寻求解题突破．
高三复习解题教学的每一环节都求“精”，既是一种态度，也是一种责任，更是一种智慧、艺术与追求．回顾近年江苏高考试题，分析特点，寻求规律，制定应对策略，是为了使得考生少走弯路，提升复习效能，更好地行走在高考复习的路上．
参考文献：
（1）王华民、周德明、梁莉娟．尝试猜想联想转换对比判断[J]．数学通报(J)2013（9）:25-27
（2）王华民．对2010年江苏卷的“难点”剖析及教学启示[J]．中小学数学(J)2010（9）:18-19
附件：