溯本求源     挖掘规律   实现突破

 课题: 组合恒等式的应用与探究

 

一、【专题背景】

梳理江苏省08-17高考数学加试部分必做试题，我们不难发现，最后一题（第23题）的考查热点之一就是对计数原理、二项式定理，组合数性质（恒等式）等知识的考查，综合考查同学们对基本原理的理解，基本公式及其变式的应用、往往对推理和运算能力要求较高，其中2008,2011，2016高考均是如此。此外近几年各大市的模考也是密集考查，统计数据表明，此类问题最大的障碍即为组合恒等式及其变形形式的灵活使用，如何“准确记忆，合理使用，寻找规律，谋求突破”即为本微专题的核心目标。

 

二、【知识再现】依托情境，巧记性质：

 (自主预习1～4)

1、从n+1个运动员中选出m个参赛有­__________种选法?其中队长参赛有­__________种选法? 队长不参赛有­__________种选法?

 

据此，你得出的结论是：­________________________.

 

 

2、从我们太湖高中n名同学中先选出m个组成一支志愿者小组,并选一人担任组长,有­__________种选法?先选出一名组长,再选出m-1个成员,有­__________种选法?

 

据此，你得出的结论是：­________________________.

 

 

变式1:先从n名同学中先选出m-1个人成员,再从剩下的n-m+1个人中选一名组长, 有­__________种选法?

 

据此，你得出的结论是：­________________________.

 

 

变式2: 从k+1名同学中选出m+1个人成员,并选一名组长, 请你根据①先选组长，后选成员；②先选成员，后选组长设计两种算法?

 

据此，你得出的结论是：­________________________.

 

 

3、你能创设模型证明恒等式=++…++吗？

 

恒等式

 

 

4、你还熟悉并能证明下列组合恒等式吗？

   

 

  

 

小结与反思：

 

 

三、【即时生成】

(1).求证：+2+3+…+n=n·2^n-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 (2).求

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四、【真题解析】

(2016江苏卷第23题（2）).

设m，nN^*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

小结与反思：

 

 

 

 

 

五、【课后巩固】

1. 已知数列{a_n}的首项为1，P(x)=a₁(1-x)ⁿ+a₂x(1-x)^n-1+a₃x²(1-x)^n-2+…+a_nx^n-1(1-x)+a_n+1xⁿ.

(1) 若数列{a_n}是公比为2的等比数列，求P(-1)的值；

(2) 若数列{a_n}是公差为2的等差数列，求证：P(x)是关于x的一次多项式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.（2017南京盐城一模（2））

设nN^*，n≥3，化简：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.(2017苏北四市一模)

已知等式，

（1）求的展开式中含的项的系数并化简

（2）证明：

附件：

• 无锡高三研讨会：组合恒等式的应用探究(太湖学生版）.doc 123MD5