“数学图形”唤醒儿童思维的建模

——图形让数学思维从无形到有形

江阴市顾山实验小学 周亚美

【摘 要】我们的数学教学中，发现学生在解决没有数学图形示意的实际问题时，除不能很好地审清题目、理解题意之外；更主要的是学生借助数学图形建立直观思维的意识淡薄，绘图能力不强，数学思维常常受阻。在数学课堂教学中要注重画图意识培养，让学生们尝到学习数学的无穷乐趣和成功体验，从而为儿童的思维发展建立模型。我从三方面谈谈自己的教学做法：数学图形，搭建儿童理解的直观思维；数学图形，打开儿童思维的多面视角；数学图形，搭建一个有形的思维模型。

【关键词】 数学图形 思维 数学模型

《数学课程标准》指出“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”学生在解决没有数学图形示意的实际问题时，除了不能很好地审清题目、理解题意之外；更主要的是学生借助数学图形建立直观思维的意识淡薄，绘图能力不强，数学思维常常受阻。从中年级起，学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，学生的抽象思维过程仍然需要具体形象的支持。数学图形非常形象化，容易引起学生的兴趣，激发学生学习的积极性，有效地培养数学解题能力，有助于展开有创造性的认识活动，也可以促进数学能力的发展。为此，笔者试图从绘画数学图形这个视角做有益的探索和尝试；从而切实提高学生解题能力，培养学习数学的兴趣，为儿童的思维建立模型。

一、数学图形，搭建儿童理解的直观思维

“孩子的智慧在手指上”。教师要善待学生的绘图“图形作品”，不管是“完美”还是“缺憾”，都要充分地肯定其存在价值。其间可以展示其数学思维过程，窥视其数学建模情况，闪烁其数学思维火花。学生在碰到一些难以理解的题目时，数学图形更是抽象思维到直观思维的桥梁。如何画图，画什么样的图，选择非常重要。如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助理清题目中的已知条件和所求问题，使问题简明直观。

1.线段图：让生活情境完美呈现

线段图除了可以帮助我们整理题目中的条件和问题，还可以帮助我们更全面地理解题意。如果学生没有画图的意识，抽象思维会掩盖直观思维。从无形到有形，线段图简洁、明了，又十分形象、易学。

【学生的小论文】

<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> 在一条笔直的马路上，小星和小华

同时从相距50米的甲、乙两地出发。小

星每分钟行20米，小华每分钟行30米，

多少分钟后，两人相距500米？

【学生思考】解答两人行走问题，除了距离、时间、速度等条件外，两人行走的方向是问题关键。而题目中没有明确的说明，要解决这个问题，我们就从两人行走的方向来讨论；线段图是最好的呈现。

（1）方向同向时，距离如下图①和②，如果以速度慢的小星为标准，相距500米其实都是有速度快的小华“拉开”完成的；所以速度我们要用减法。

小华先追上再把距离拉开

（2）方向反向时，距离如下图③和④，相距<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />500米其实都由两个人共同完成的；所以速度我们要用减法。

两人先相遇再把距离拉开

【学生总结】这道题共有4个不同的答案，之所以有四种答案；主要是因为题目中的“相距”，需要我们“咬文嚼字”。相距中的方向可以是同向，也可以是反向。行程问题中的“相距” 与“相向、相对、相反（背）、相离”等词语不同。“相向、相对、相反（背）、相离”等词语方向明确，而“相距”方向不明确，就会造成多种情况，这就是“相距”的奥秘所在。而要理清“相距”的奥秘，画线段图是一种很好的方法，简洁明了，脑海中记忆清晰。

通过画数学图形，学生会意识到生活情境耀然纸上。简单图形搭起了简单的思维，线段图更直接地分析每个量之间的关系，使题意更直白地外显。简单图形不简单，不简单是因为基于儿童的立场，为儿童数学思维世界搭建了一座“有形”的房子。多数学生都不会想到这一题会有四种不同的答案，但在画线段图的过程中，学生会慢慢将抽象思维通过图形显示，从而呈现形象的直观思维。“相距”的奥秘在哪里？图形暴露无疑。可见，画数学图形可以让学生重新深入地思考，也可以让学生在解题后更直观地进行验证结果的正确性，承上启下，数学图形妙不可言。

2.集合图：理清整体与局部的关系

集合图就是用一条封闭曲线直观地表示集合及其关系。如用圆圈图向学生直观的渗透集合概念。让学生感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。学生画集合图，既可以开动脑筋发挥想象，也可以了解集合中的元素与基数概念的联系。

例如：某班有学生45人，在一次考试中，语文优秀的有22人，数学优秀的有30人，问两科都优秀的至少有多少人？

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教师启发式引导学生用圆圈画出上面的图形。为什么两个圆会有相交的部分？从题目中学生可以确定两科都优秀的人数之和应为22＋30=52（人），可是全班总人数只有45人，相差52－45=7（人），说明有7人两科都优秀。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合。三角形的分类按角分可分为直角三角形，锐角三角形，钝角三角形这个是并集关系。按边分可分为任意三角形，等腰三角形，等边三角形这个是子集关系等。在绘画和理解集合图的同时，学生也就找到了解题的钥匙。运用圆圈画数学集合图形，不仅能使课堂教学变枯燥乏味为生动活泼，而且能使学生产生直观形象的感觉，有利于增强记忆力、减轻学习疲劳。

二、数学图形，打开儿童思维的多面视角

我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘,几何代数统一体,永远联系切莫分离。”以形助数，揭示数量之间的关系，善于在图形的分析中快捷地解决问题，思维层次不断上升。

1．列表格图形：数据清晰有序

5个同样的红色小球，分别标上数字1、2、3、

4、5。每次任意摸出2个小球，两个数字和

是偶数，算小明赢，两个数字和是奇数算小

军赢。同学们，这个小游戏公平吗？为什么？

这样的问题，学生明白了游戏的规则后，会通过一一列举来说明。但很难就把所有的情况全都表达清楚，怎么办？如右图，列表格无疑让学生大开眼界数学真奇妙！明确判断和是偶数还是奇数后，把每一种可能进行列表整理，学生非常清楚地看出一共有25种不同的情况，既直观又明了。对于一些数据较多的问题，学生在理解时，往往会对不上号，如果用了列表的方法，就更容易理清题意，也易于揭示数量之间的关系，便于理解思路，进行解答。

2．画方块图形：计算转化图形理解

如计算： ＋ ＋ ＋

这是一道小学最能体现数形结合的思想方法的数学

例题。它极大的打开了学生思维的多面视角。“计算题还可以转化成图形来理解”，这是学生上完课后，向教师表达自己的内心感受的第一句话。数学，

教的不仅仅是知识结果的落实，更重要的是过程的体验和意识的唤醒。

将小学数学中一些抽象的代数问题给以形象化的原型，将复杂的代数问题赋予灵活变通的形式，给学生思维灵活性的思维迁移训练，可以打开学生思维的多元通道。

3.画图形：把几何文字转化成几何图形

例如教学：一个长方形把长增加3米，或把宽增加4米，面积都增加24平

方米，求原长方形的面积。教师先让学生读懂题意，再指导学生画出右图的数学图形， 从所要求的问题看出，要求原来的面积，需要知道长和宽，但是题目中什么都没有告之。但如果从图形出发，从变化的图形

中找到求原来的长与宽就非常直观。学生就会体验图形

带来的便捷。长：24÷4=6(米) 宽：24÷3=8(米） 所以原长方形的面积为：8×6=48（平方米）

运用数学图形解题，实质就是化抽象为形象。学生的抽象能力薄弱，对实际问题体验不多，所以思考受阻。如果依托图形，构建思维的模型，让学生边读边画边标数据；在形象几何图上来理解题意，比在脑子中想象现实得多，容易得多。所以依托几何图形不仅可以理清思路，也能提高解题能力。

数形结合是教学几何初步知识与培养空间观念的重要方法。在数学教学中培养学生的创新意识，贵在激励学生参与创造，把数学学习与创造性思维培养紧密结合。这样，学生才会学得生动、学得活泼，我们的数学课堂教学才会充满创新活力。

三、数学图形，搭建一个有形的思维模型

在课堂教学中，要实现发展智力、培养能力、拓宽解题思路这些目标，搭建一个有形的思维模型是至关重要的。有了思维的模型，学生的脑海就像搭建了一个有形的“图形房子”，就能举一反三，触类旁通，形成能力，在此基础上有所创新。

图形对比：脑海形成模型记忆

（1）小星看一本200页的《哈姆利特》童话书，已经看了全书的。小星已经看了多少页？

（2）小星看了120页的《哈姆利特》童话书，占全书的。全书一共有多少页？

（3）学校饲养组养黑兔12只，白兔只数是黑兔的。饲养组养白兔有多少只？

（4）学校饲养组养黑兔12只，白兔只数比黑兔多。饲养组养白兔有多少只？

在教学《分数的实际问题》时，教师经常会讲解的数学题目。算术方法、方程思想、抓住份数等等，鼓励学生积极寻求同样的问题有很多不同的解决方法，拓展学生的思维，引导学生对要解决的问题进行多角度分析，以培养学生的探究能力和创新能力。

第（1）（2）两题图形 第（3）（4）两题图形

如果从画出图形→图形对比→形成模型→文字概况，让学生经历抽象到直观，直观到具体，具体到抽象，这一系列的学习和体验过程，在数学活动中追寻数学的本质。以往教学：只从题目中草草抽象概括数量关系，让学生死记硬背，套模式解题。如“‘是、占、比、相当于’后面的量就是单位1”；“单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法”；现在教学：充分让学生亲身实践体验，让学生通过图形探究对比，加深对这类应用题数量关系及解法的理解，提高思维能力，为学生进入更深层次的学习做好充分的准备。

小学数学建模思想的形成是一个系统而综合的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中渗透数学建模思想，从直观图形入手，使学生感觉到利用建模思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。从数学图形这个视角入口，让学生们尝到学习数学的无穷乐趣和成功体验，从而真正提高他们的解题能力；让画图成为学生学习数学简单实用而又快捷方便的一把“金钥匙”。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部制定 《数学课程标准》（实验稿）；北京师范大学出版社 2003

［2］赵国忠主编 《透视名师课堂管理——名师课堂管理的66个经典细节》 ；凤凰出版传媒集团；江苏人民出版社 ；2007

［3］徐斌主编 《走进徐斌——为学生的数学学习服务》 ； 福建教育出版社 ；2006