数学实验：让智慧在操作中“生长

—— 小学“图形与几何”领域中数学实验教学中的问题与对策

【摘要】皮亚杰认为：“儿童的智慧源于操作”。小学数学实验能融思维和操作于一体，是一种重要的数学学习方式。目前，在“图形与几何”领域中的数学实验教学中存在功能单一、形式僵化、组织随意、过程零碎等问题。经过探索和实践，笔者认为可以从以下几个方面优化教学：1. 由点到面，合理制定实验目标；2. 化零为整，弹性设计实验活动；3. 张弛有度，灵活调控实验进程；4. 纵横疏通，深入挖掘实验价值。

【关键词】数学实验 思维 操作

心理学家皮亚杰认为：“儿童的智慧源于操作。”数学实验能融思维和操作于一体，是一种重要的数学学习方式。《小学数学新课程标准（实验稿）》明确指出：“教师要引导学生充分经历操作、实验、猜想、验证、推理和抽象的过程。”

数学实验是为了探索某个数学知识，检验某个数学结论或者解决某个数学问题，借助一定的素材进行操作，在思维活动的参与下开展的数学研究活动。数学实验具有直观性、探索性、启发性和创造性等特点，在小学数学教学中重要的研究价值。从年龄特点看，小学生活泼好动、注意力持续时间短，而数学实验中的操作活动符合学生学习的天性；从思维特点看，小学生以形象思维为主，在数学学习中极大地依赖直观手段获取知识，数学实验为此提供了外在的物质条件；下面结合“图形与几何”领域中数学实验的研究现状谈谈个人的体会：

一、探寻——小学数学实验教学中存在的问题

小学数学教材中，“图形与几何”领域中数学实验的内容占了相当大的比重。一线教师对于数学实验的研究兴致很高，但尚处于探索阶段，难免存在一些问题，主要有以下几点：

1. 功能“单一”

数学实验功能的单一性主要体现在两个方面：一是将“数学实验”等同于“动手操作”，把学生“动手操作”作为衡量数学实验的标准。显然，执这种观点的教师并没有把握“做中学”这一数学实验的本质，只是从“做”的角度进行片面的、表面化的解读，而没有关注其背后的“学”，忽视了其在数学学习中的价值。二是把“数学实验”看作是一种特殊的、暂时性的数学学习活动，认为实验活动随问题的解决而结束，没有意识到“数学实验”在积累数学活动经验、形成数学基本思想方法中蕴藏的巨大价值。

2. 形式“僵化”

在小学数学课堂上，实物操作成为了一种常见的、甚至唯一的实验形式。大部分教师认为操作对象只能是物化材料。操作对象的单一导致操作形式的刻板和僵化，直接影响了学生的思维发展进程。心理学研究表明，抽象思维能力的形成必须经历“直观操作——表象操作——符号操作”的过程。只关注“实物操作”忽略“表象操作”，必然会限制学生思维能力的提升。

3. 组织“随意”

数学实验组织松散、随意性强，主要体现在以下几个方面：

（1）主题不明。有部分教师对为什么开展数学实验活动，如何让学生清晰感知活动目标都没有进行深入思考，导致学生在数学实验活动中出现盲目操作、被动思考等行为。

（2）主线不清。对学生“主体”地位的过度解读和对数学本质的理解的“偏颇”，教师会轻视对活动序列的理性设计，人为地加大探索的难度，使一些能力不足的学生产生学习困难，他们往往在实验过程中一无所获，白白浪费了宝贵的学习时间。

4. 过程“零碎”

数学实验中，教师往往难以把握引导的“度”。过分淡化容易使学生寸步难行，而过于重视则不利于学生自主探索，同时会打断、割裂数学探索过程，使数学实验的整体性受到破坏。通常破坏探索活动整体性的直接原因有以下两个：

（1）问题琐碎。预设的探索路径过于狭窄不利于学生个性化探索。为了防止学生偏离预设的轨道，教师就会通过设计一个又一个“问题”控制实验走向和节奏。

（2）介入频繁。面面俱到的设计和对学生每个细节的过分关注，会使教师产生焦虑和不满情绪，在学生产生问题时便会无原则的介入，成为学生学习的“代言人”。

二、实践——小学数学实验教学的策略研究

基于对小学数学实验中问题的梳理，笔者经过长期的思考和实践，认为可以从以下几个方面进行教学优化：

1. 由点到面，合理制定实验目标

数学实验的目标制定关系到实验活动的设计与走向，影响学生对数学知识的理解和思维的发展。合理制定实验目标是数学实验教学得以有效开展的重要前提。为此，教师要从数学概念的本质、“四基”的要求以及学生的认知需求出发，全面考虑实验目标。

（1）把握“本质”。数学实验的本质是让学生在“做”数学中“学”数学，“做”是手段，“学”是目标。在设定实验目标时，要体现出操作和思维之间的互动关系。

（2）兼顾“四基”。借助数学实验进行数学化的探索，不仅能帮助学生获得基本知识、技能，还能在积累重要的学习经验和活动经验，并发现重要的数学思想。

如教学《认识圆周长》一课，可设计以下的实验目标：①发现不同的圆有不同的测圆周长的方法，拓展并丰富圆周长的测量经验。②基于实验进行数据观察和分析，发现圆周长和直径之间的关系。③反思实验结果，发现实验测量的不足并产生用新实验方法的愿望。④回顾实验过程，积累实验经验，感受“化曲为直”、推理和抽象等数学思想方法。

（3）顺应“学情”

数学实验是为了探究数学知识、验证数学结论而进行的某种数学化操作活动。根据这一实验目的，可以将小学数学实验大致可分为探索型和验证型两种。数学实验类型的选择要基于学生的认知需求和能力。选择得当能助推学生思维的发展，反之，会严重阻碍教学的进程。

笔者教学《认识平行四边形》，第一次执教是将数学实验定位于探索平行四边形特征，要求学生在做平行四边形的过程中逐步发现“两组对边平行且相等”、“对角相等”。结果，整节课上学生面对实验操作成品，除了能说出对边相等外并没有其他的发现。第二次执教时将实验定位于验证型，结果学生不仅能根据已有的经验对平行四边形特征进行了假设，还能灵活选择测量工具进行检验。两次执教同一内容，由于不同的定位取得截然不同的效果。可见，顺应学生的实际需求是数学实验定位的重要的依据。

2.化零为整，弹性设计实验活动

为了达成数学实验预定的教学目标，教师需要根据对实验效果的预判进行各要素的加工与整合，从整体出发精心设计、组织实验活动。教学实践表明，好的数学实验活动设计需要有明晰的教学主题、有层次的认知序列，还有推动实验进程的、具有导向意义的问题设计。

（1）主题统领

清晰而突出的数学实验主题能强化活动目标，促使学生不断往返于“直观操作”和“理性思考”之间，努力探寻直观背后的数学本质，加快数学探究的速度。由于数学实验中涉及实验的相关因素较多，因而，以鲜明的主题统领活动就显得尤为重要。

如在教学《多边形内角和》时，笔者让学生自己画多边形进行内角和的研究，理由有三点：一是学生具有画图的经验和能力；二是改变“教师提供，学生接受”学习方式，为学生通过更为自由的探索空间；三是学生画出的图形具有多样性的特点，能使学生对同一边数图形的内角和的认识更充分。但实际教学并没有取得预想的效果，原因是随着多边形边的条数的增多，学生画出的多边形更多的是不规则的、“凹”形。而这种图形的出现“偏离”了研究的主线，使学生的注意力指向于图形的外在特点，另外又热衷于探讨“分三角形”的多样性。因此，教学设计中，教师要敢于删繁就简，修剪掉阻碍主题发展的枝枝节节。

（2）问题引领

对问题的思考是数学实验活动引入和推进的内在动力。问题的设计和提出直接影响到数学实验的效果。因此，设计有价值的、具有导向作用的问题问题在数学实验中具有重要意义。教学中，特别要关注以下两类问题：首先要设计“主问题”引领活动，成为数学实验的起点和落脚点；其次，要有体现环节之间内在逻辑线索的“子问题”，使实验活动展开具有数学意义。

如教学“三角形”概念时，可以先让学生根据已有的图形经验，试着回答“你认为怎样的图形是三角形？”当学生出现表述不当、概括不全时及时引入数学实验，让学生借助摆小棒围三角形的活动进行再问题思考。为了突出“首位相连”的本质，在学生围出三角形后，不妨出示两种错例（<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> 、 ）让学生辨析和讨论，并提问“为什么这样摆小棒不行？”“怎样摆小棒才能围成三角形？”最后，根据学生获得的活动经验，再问“现在能说说怎样的图形是三角形了吗？”

以上案例中“怎样的图形是三角形？”作为“主问题”统领整个实验活动，操作前、后两次提问突出了活动的主题，也能看出学生思维发展的轨迹。而出示正例和反例后的对比性提问“为什么这样摆小棒不行”“怎样摆小棒才能围成三角形？”突出了概念的本质，是连接操作和思维的关键。

（3）有序推进

在数学实验中，学生借助“做”理解数学知识、发展智慧。教学中，教师要把握学生认知心理，组织合理的实验序列以实现教学目标，充分展示“做”和“思”的良性互动，即“思”带动“做”，“做”启发“思”。

如教学《三角形的三边关系》时，为了让学生充分理解“任意两边和大于第三边”的本质，笔者设计了以下4个实验活动：

实验一：①思考：是不是任意三根小棒都能围成三角形？②提供素材：4组小棒，分别为红、黄和蓝三根，固定蓝边的长度（10厘米）和位置（下面）；③思考：怎样的三根小棒能围成三角形？④结论：红、黄长度和大于蓝边可围三角形。

实验二：①猜想并操作：红3厘米、黄15厘米、蓝10厘米能否围成三角形？②结论：在红黄长度和大于蓝边，还要满足红、蓝长度和大于黄边的条件。

实验三：①思考：是否还要满足其他条件？②操作验证：红14厘米、黄2厘米、蓝10厘米围三角形；③完善结论：任意两边长度和大于第三边。

以上案例中，“任意两边长度和大于第三边”这个结论的得出依赖于3个逐步递进的小实验得以展开，而每个小实验的发起、转换都是由问题带动，这样就构成一个环环相扣、逻辑严谨的教学序列，完美体现了“做中学”的要义。

3. 张弛有度，灵活调控实验进程

前期的目标定位和活动设计是理性思考的结果，展示的是一种理想化的活动蓝图，而真正活动效果需要从具体实施洞察和显现。因此，教师要充分“预设”，更要关注“生成”，实时把握实验动向，根据实际需要作调整教学步调，优化教学行为。

（1）在疑难处“引一引”

基于数学实验所得的结论需要依托现实原型，但几何概念、定理是纯形式化、理想化的产物。教师要正视“现实原型”和“科学结论”之间存在的认知障碍，在学生困惑时及时介入，通过必要的教学手段帮助学生跨越认知障碍，获得对知识的正确理解。

如借助数学实验建立“三角形三边关系”时，学生常常对“两边和等于第三边不能围成三角形”持不同的意见。原因是小棒、吸管等现实操作素材不可避免的有厚度、宽度，导致操作时出现围出三角形的现象。有位教师利用多媒体对小棒（吸管）的宽度进行不断的调整、实验，引导学生经历“有限宽”到“无限细”的想象操作以消除疑虑。虽然，在这个活动环节用去了不少时间，但学生完成了思维的创造，所以这样的“停留”是有价值也是有必要的。

（2）在争议处“等一等”

同一个操作活动，不同的学生有不同的看法和操作行为。教师要充分利用数学实验中出现的这个操作差异，引导学生通过辨析和争议，对原有的思维中出现的问题进行澄清或修正，使操作行为和数学理解之间建立实质性的联系。

如教学“多边形内角和”，学生在独立研究正五边形内角和中，出现2种不同的操作结果： 和 。教师要及时引导学生进行争辩，从而进一步明确实验目的并强化对内角和意义的理解。

（3）在发展处“跳一跳”

数学实验中的操作是点燃和助推学生思维发展的核心手段，也是决定实验成败的重要依据。因此，教师要及时关注操作活动能否对学生数学的思考起到正向推动的作用。一旦操作成为学生思维发展的“绊脚石”，就要跳出原定思路的框架，通过加快实验进程跟上学生的思维水平。

如笔者教学“长方形面积计算”时，预设3个层次的操作活动：①操作1：用若干个边长1厘米的正方形摆长方形，观察并猜想长、宽和面积关系；②操作2：提供指定的长方形，让学生用数量有限的小正方形进行操作得面积，肯定之前的猜想；③操作3：给出长方形长、宽数据，想象操作得出面积公式。

在实际教学中学生思维并没有沿着指定路径发展。当出示第2个实验活动后，学生立即指出摆小正方形是多余的，只要通过测量出长方形的长、宽就能知道摆小正方的情况。显然，学生的思维已经跨越第2个实验活动顺利进入实验3的水平，于是笔者顺势而为，让学生在实物操作后，直接通过看长方形想面积说摆法，借助表象操作快速建立起长、宽与每排个数、排数之间联系，最终顺利得出长方形面积公式。

4. 纵横疏通，深入挖掘实验价值

数学实验具有可视化、探索性和创造性的特点，不仅能再现数学知识的发生、发展过程，帮助学生把握数学概念和定理的本质，还有利于解决问题的基本经验的积累、数学思想方法的渗透和数学方法的选择。教学中，教师充分挖掘数学实验的教学价值，引导学生对活动进行纵向梳理、横向沟通，通过反思提高思维品质。

（1）内外沟通，凸显本质

数学实验的结果是内在数学本质的外在体现，适时对实验结果进行理性反思，追寻数学原理就能加深对数学知识的理解。

如教学“多边形内角和”时，有位教师引导学生对“多边形内角和=（边数-2） ”这一实验结论进行反思，追问“ 指的是什么？（边数-2）呢？”“为什么分成的三角形的个数正好是边数-2？”基于对问题的分析和思考，学生在对多边形分三角形的研究的基本方法有了更为本质的理解。

（2）点面梳理，体会价值

只有学生将学习经历进行沉淀和提升，从而积累学习经验积累并形成基本思想方法。因此，教师要在数学实验后组织学生对整个活动回顾与反思。

如用数学实验法探索“三角形内角和”，使学生对三角形内角和 达成共识后，笔者带领学生思考“回顾整个学习过程，想一想我们是怎么得到这个结论的？采用了哪些方法？”“在遇到问题时，我们又是如何解决的？””你在整个探究过程中还有什么新的收获？”学生随着教师的引导，对实验过程进行回顾和梳理，并从中加强对数学实验重要性的认识，并对测量求内角和的方法正确的认识，认为测量是基本的、常用的实验方法，但有一定的局限性。同时，也获得“特殊到一般”、“换角度思考”等基本数学思想方法。

欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。在“图形与几何”领域的教学中，教师要正确理解数学实验的内涵，根据教学内容和学生需求制定切实可行的实验目标、精心设计实验活动、灵活调控实验过程并及时反思实验结果，最大限度实现数学实验教学的价值，让学生的智慧在操作中“生长”。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[s].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]初中数学实验教学的理论与实践/董林伟主编.南京：江苏科学技术出版社，2013.7.