数学实验,助力数学思维可视化 ——以“拼图·公式”为例
2024-09-17
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数学实验,助力数学思维可视化
——以“拼图·公式”为例
江阴市南闸实验学校
陆程
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摘要:数学实验注重学生动手操作和实践,能有效提升学生的创
新素养和实践能力,是助力数学思维可视化的重要载体.通过实验探
究,抽象思维具体化、思维认知结构化、问题认知多样化,促进学生
深度思维的发展.本文以“拼图·公式”为例,阐述如何通过实验教
学助力数学思维可视化.
关键词:数学实验 数学思维 可视化
初中数学实验是通过动手动脑做数学的一种学习活动,它强调从
做实验中学,力图通过做实验的主动探究过程,来培养学生的动手实
践能力,解决问题的能力和创新精神,积累基本的数学活动经验 [1].
初中实验课堂中的思维可视化是指在进行实验教学时,教师通过精心
设计,将抽象的数学知识通过具体的实验活动展现出来,在实验过程
中,思维过程、思想方法和实验成果都变得可感知、可观察、可操作、
可呈现.
本文以“拼图·公式”实验教学为例,将数学中的整式乘法及二
次三项式转化为长方形的面积,将抽象的数学公式可视化,通过数学
实验拼图展示数与形之间的紧密联系.
一、深入研究教材,把握学习起点
“拼图·公式”是苏科版七年级下册第九章“整式乘法与因式分
解”中的内容,从知识结构来看,学生已经能够进行整式的乘法运算,
能够用提公因式法和公式法进行因式分解,本节课的目标是将整式乘
法和因式分解这两种运算借助图形面积变得可视化,加深学生对所学
知识的理解.从活动经验迁移来看,学生已经形成了通过拼图探究新
知的经验,已经初步感悟了数形结合的思想;从能力素养来看,本节
课经历从具体问题抽象出数学问题—建立模型—综合运用已有知识
解决问题的过程,经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程,
将研究过程可视化,进一步提升学生的深度学习能力.
二、精心设计实验,打造思维课堂
1.融数于形,抽象思维具体化
活动规则:如图 1,四人小组合作任意选取一定数量的卡片(每种卡
片至少用一次)尝试拼成一个新的长方形,并通过不同的方法计算其
面积.(图1)
思考:我们可以如何计算长方形的面积?
【师生活动预设】四人小组能通过卡片拼出多种长方体,并求得面积,
如拼成的长方形,如图 2:
(图 2)
师:你是如何求该图形的面积的?
生:该长方形的长为 (3a+b),宽为(a+b),因此面积可表示为
(3a+b)(a+b).
生:它是由 3 个 A 型卡片,4 个 B 型卡片和 1 个 C 型卡片拼得的,
因此面积可表示为 3a 2+4ab+b 2.
师:这两个式子有怎样的大小关系?
生:这两个式子都表示该长方形的面积,因此它们相等,即
(3a+b)(a+b)=3a 2+4ab+b 2.
师:非常好,现在请每个小组尝试用这两种方法求面积,将得到的等
式并写到黑板上.
生:(黑板写出等式)
师:现在同学们能通过这些等式说出每个小组所拼长方形的特征吗?
生:可以,等式的一边是多项式乘多项式,代表长方形的长和宽,另
一边是多项式,可以由多项式每一项的字母确定卡片的类型,由每一
项的系数确定相应卡片的数量.
【设计意图】由拼图到等式,让学生体会形与数之间的关系,可以由
形到数表示面积,也可以由数到形,找到长方形的长和宽,同时根据
多项式可以确定图形中卡片的类型和数量,赋予抽象的数学公式具体
的实际意义,让抽象思维具体化.
2.由数到形,思维认知结构化
环节一:四人小组合作,请用以下三种卡片拼出长为(3a+2b),宽为
23
(2a+b)的长方形,如图 3,限时 90 秒.
思考:还可以如何计算面积?得到怎样的等式?
【师生活动预设】黑板上一组同学挑战失败.
师:这位同学,你解决问题过程中遇到了什么困难?
生:我已知长方形的长和宽,但是不知道卡片的类型和数量,也不知
道这些卡片该如何摆放.
师:很好,这位同学思考的很全面,有同学能帮助她解决困难呢?
生:可以先用整式乘法将整式乘法展开,得到多项式后,然后再根据
多项式确定卡片类型和数量.
生:我们可以先尝试摆出长为(3a+2b),即用 3 个 A 型卡片和 2 个 B
型卡片拼出长,再用 2 张 A 型卡片和 1 张 B 型卡片拼出宽(2a+b),
最后用卡片将剩下部分填充,如图 4.
师:可以得到怎样的等式呢?
生:根据两种计算面积的方法得到等式:
(3a+2b)(2a+b)=6a 2+7ab+2b 2.
环节二:任意写出一个形如(
a+
b)(
a+
b)的式子,(
为
正整数),能否用卡片拼成一个长方形,并借助拼图得到整式乘法的
结果?
思考:以上活动说明了什么?
【师生活动预设】大部分小组能展示出拼图及等式.
师:同学们,根据以上的活动,你有什么收获呢?
(图 4)
(图 3)4
(图 7)
(图 6)
(图 5)
生:我们可以通过拼图得到等式,计算多项式乘多项式.
师:如果没有卡片拼图,你能想到其他办法吗?
生:可以画图.
师:非常棒,我们可以通过拼图或画图计算整式的乘法,这里我们由
数到形再到数,体现了我们初中阶段非常重要的数学思想:数形结合.
整式的乘法:
数
形
数
环节三:选取适当卡片,如图 5,拼成一个面积为 a 2+3ab+2b 2 的
长方形.
思考:1.我们还可以如何计算面积?可以得到怎样的等式?
2.以上活动说明了什么?
【师生活动预设】学生能黑板上展示完成拼图并写出等式:
a 2+3ab+2b 2 =(a+b)(a+2b).
师:你是如何完成拼图的?
生,根据条件我们可以知道 A 型卡片 1 张,B 型卡片 3 张,C 型卡片
2 张,可以先挑出卡片再拼图.
师:非常好,我发现大家的拼图方式有好多种,我们一起来欣赏以下
两种,如图 6、图 7,你们觉得哪种拼图方法更好?
生:第一个更好,因为第一个图形摆放更有序.
师:结合黑板上展示的拼图(图 2、图 4、图 6),思考 A、C 两种正
方形卡片摆放的位置有什么特点?
生:位于对角线的位置.
整式乘积
多项式
拼图、画图5
师:知道为什么要这样摆放吗?
生:因为两个正方形的边长不一样,摆放在一起会增加后面拼图的难
度,直接摆放在对角线的位置,剩下的位置只需要用 B 型卡片填充
即可.
师:说的太好了,同学们根据我们所得的等式,又能得到什么结论呢?
生:根据拼图我们可以将二次三项式进行因式分解.
因式分解:
数
形
数
环节四:如果任意写一个关于 a、b 的二次三项式,形如:
a 2+
ab+
b 2 ,(
为正整数),能否用准备好的卡片拼成
一个长方形,使这个长方形的面积可以用这个式子表示?
思考:任意一个关于 a、b 的二次三项式,都能用拼长方形的方法将
这个二次三项式进行因式分解吗?
【师生活动预设】学生分组合作,发现不是所有的二次三项式都能通
过拼图进行因式分解.
【设计意图】根据拼图,让学生初步认知通过拼图可以进行整式乘法
计算,也能够解决简单的二次三项式的因式分解;学生自由填空,将
问题研究引向深入,由特殊到一般,让学生产生思维认知结构,感受
利用拼图进行整式乘法的一般性及利用拼图进行二次三项式因式分
解的局限性.
3.以形解数,问题认知多样化
根据本节课的学习经验,你能计算(a+b+c) 2吗?
【师生活动预设】学生通过拼图发现没有办法拼出图形,发现卡片类
型不够,然后想到了画图的方法解决.
师:同学们解决问题的能力真的很棒,你们还能提出其他值得研究的
问题吗?
生:刚刚我们研究的都是二次方的问题,我们能否通过拼图计算三次
方的问题,如(a+b) 3?
师:这是一个非常有价值的问题,同学们能解决吗?
生:刚才二次方的问题是看成正方形的面积,这个三次方的问题可以
看成是正方体的体积,可以通过搭积木的方式搭出一个棱长为(a+b)
的正方体,然后将其中每一个小长方体的体积相加就能得到所求结
果.
【设计意图】根据之前的活动经验,设计问题串的形式,引导学生不
仅可以从数的角度看待问题,也可以从形的角度解决数的问题,既能
加深学生对本节课整式乘法与因式分解的认识,又让学生再次体会以
二次三项式
整式乘积
拼图形解数的直观与巧妙,让学生对代数问题的认知更加多样化.最后一
个三次方的问题也将本节课的学习推向高潮,促进学生深度思维可视
化.
三、深度反思过程,引领思维可视
思维可视化就是通过直观形象的手段,将抽象的不易直接发现的
思维展示在人们面前,就数学学科而言,可视化就是将那些隐藏的思
维过程通过可见的图示或实物等形式展现出来的过程 [2].
下面我们就从心理、智能和效能这三个维度来具体阐述如何让通
过数学实验助力思维可视化.
1.激趣
从心理维度上看,数学思维可视化需要教师在实验过程中设计各
种情境,将原本深奥的数学知识转化为可视化的实验操作,激发学生
学习动机.在直观形象的数学实验操作中,学生既可获得极为丰富的
情感体验,又能轻松习得知识.在“拼图与公式”这节课中,作者依
据学情设计了丰富的实验活动,由简单到复杂,由特殊到一般,让原
本枯燥的代数知识与形象的几何图形相关联,将抽象思维具体化,让
实验课堂充满活力.
2.促解
从智力维度来看,“趣”是一种外在的形式,而理解则是智力层
面的建构.数学实验中可视化的学习过程能加深学生对数学知识的理
解,通过由浅入深的实验探究促进思维认知结构化.本节课教师将实
验活动拼图与整式乘法及因式分解的知识有机结合,先由形到数,再
由数到形,既解决了数学知识,也让学生充分体会数形结合的重要思
想,促进知识的结构化生成.
3.致用
从效能维度来看,数学实验课可视化的实验成果还能提高学生的
知识迁移能力,将所学的知识与能力运用到新的数学情境之中,解决
新的问题,这是数学核心素养中关键能力的体现,也是数学学习的真
正目标 [3]。本节实验课中作者在最后将本节课数形结合表示面积应用
到新的情境中,这里体现了 3 次知识的迁移:(1)内容更复杂,从
两项到三项;(2)形式更多样,从拼图到画图;(3)研究更深入,
6从平面到立体.本节课中的所有代数问题都通过拼图转化为几何问题
解决,给了学生提供了新的思考路径,促进学生的思维认知多样化.
新课标要求,学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜
测、计算、推理、验证的等活动过程.数学实验是思维外显的重要手
段,已经成为数学课堂教学不可或缺的环节.作为教师,我们应该深
入研究教材,结合学生学习经验,创设可视的数学实验教学场景,促
进学生在实验中创生知识、积累活动经验,使数学学习更加具体化、
结构化,多样化,提升学生深度思维能力.
参考文献:
[1]董林伟. “做数学”:中小学生适合教育的实践构建[J]. 教育研究与评
论,2021,(03):16-21.
[2]钱学翠. 数学思维可视化:促进深度学习真实发生[J]. 小学教学设计,
2021,(29):6-8
[3]高杰. 数学实验教学中思维可视化的探索与实践[J]. 教学与管理,
2022,(26):33-36.
本文系江阴市教育科研专项资金重大项目——走向学科育人的“数学实验”区域推进实
践研究(JY2021A03)的阶段性成果