数学理解的至善追求
——数学思想方法的理解*
南通大学 钟志华 朱月萍 王金华 林道荣
（钟志华，南通大学教育科学学院导师，主要从事课程与教学论研究；朱月萍，教授，南通大学理学院院长；王金华，副教授、博士 主要研究方向:组合数学；林道荣，南通大学）
【出处】钟志华 朱月萍 王金华 林道荣. 数学理解的至善追求——数学思想方法的理解 . 教学与管理，2013 (33) :125-128
*该文为教育部重点课题“高中教师数学学科教学知识（PCK）的案例研究——
以高中数学必修课程为例”（GOA107004）、江苏省教育科学“十二五”规划课题“基于概念图的数学研究性教学策略研究”（D/2011/01/086）、南通大学教学成果培育项目“基于实践能力的数学应用人才培养体系的构建”的研究成果
【类别】杂志文摘
柏拉图对数学理解问题及数学理解的层次有过非常深入的研究，他指出，理解是从假设（较低级的形式）出发，上升到绝对原理、上升到世界的最高目的———“善”的过程，是一个从形式过渡到形式、最后停留于形式的过程，并明确地指出，这种“善”是高于几何学推论的真正的理性。[1] 他还进一步指出，数学中的“善”是一种发自人的经验但又脱离人的经验的纯形式的理想化的境界。他的这段精彩阐述不仅粗略地揭示了数学理解的一般过程，而且提出了数学理解的最高层次是达到“善”这一重要思想。不足之处在于他的“善”的概念非常笼统，对于“究竟是什么‘善’”、 “‘善’包括哪些具体内容”等问题并没有给出明确的回答。也许是因为当时还没有数学思想方法这一概念，也许是因为其它原因，柏拉图并没有明确提出“数学理解的至善追求是数学思想方法的理解”这一命题。
此后，对“善”的研究最有影响的人物要数英国哲学家、数学家怀特海。1939年在美国哈佛大学所做的一次题为“数学与善”的演讲中，怀特海不仅对柏拉图始终强调的一个重要思想——“善”的思想（又称理念）予以了充分的肯定，而且对达到善的途径和善的最终状态进行了详细的阐述。他从“有限”（有限的识别力、有限的知识）与“无限”（无限的宇宙）的相互关系出发，提出了“善”是一种描述无限丰富的数学世界的理想模式的思想，他指出所谓“善”，是一种理想的东西，具有无限的性质，人们正是通过模式这种有限的东西而达到对无限的宇宙——“善”的认识的。这样，在柏拉图眼里抽象、玄妙、让人始终不可捉摸的“善”，通过怀特海精辟透彻的分析，使人们第一次对“善”有了一个具体而直观的认识，那就是“善”本质上是一种描述无限丰富的数学世界的理想模式。[2]从柏拉图与怀特海对“善”的阐述中我们也逐渐演绎出“数学理解的至‘善’追求是数学思想方法的理解”这一重要观点。为了更好地理解这一点，下面从四个方面来具体阐述。
一、从数学理解的本质看，数学思想方法处于数学理解的最高层次
数学理解是每一个从事数学教学和数学学习的人都无法回避的问题，但究竟什么是数学理解却众说纷纭。有人认为，就是指该“对一个事物本质的理解，事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取。而数学理解就是对数学知识的正确、完整、合理的表征。”“一个数学的概念或方法[3]也有人认为，或事实被理解了，那么它就会成为个人内部网络的一个部分。”“学习一个数学概念、法[4]还有人认为，原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么就说明是理解了。”[5]但若从联系的观点来进行考察则可以清楚地发现，从某种意义上来说，数学理解的本质就是要在新、旧数学知识之间建立一种非人为的、实质性的联系。
明确了数学理解的本质以后，我们再来进一步阐述“数学理解的最高层次是数学思想方法”这一观点。为了更好地阐述这一观点，有必要先明确一下数学思想方法的概念。关于数学思想方法，目前比较公认的说法有两种：其一，理论“数学思想方法是数学概念、的相互联系和本质所在，是贯穿于数学的、具有一定统摄性和概括性的概念。”“数学思想是指现实。[6]其二，世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实与数学理论的本质认识。”[7]尽管两者的表述不尽相同，但基本上都把数学思想方法看作是人们对数学知识和方法所形成的规律性认识或基本看法，认为数学思想是在对
较低水平的数学知识进行不断概括、反思基础上提炼出来的中心思想、原理或总纲。比如人们在对现实世界的数量关系进行抽象的基础上产生了自然数的概念以及自然数的运算法则等，对自然数进一步抽象又可以将自然数用字母来进行表示（比如用 N表示自然数），这样就产生了字母代数的思想；而字母又可以进一步抽象为变量，这样又会产生变量的思想。
由此可见，数学思想方法不同于数学概念、数学命题等理性知识，它更多表现为一种整体的、直观的认识，它属于理性知识但又高于通常所说的理性知识，它是一种至“善”的知识，这种知识追求的是一种数学的统一美、和谐美、简洁美，这种知识作为一种高层次的思维形式它具有高度的抽象性，同时它又具有很强的直观性，它往往会在人的头脑中留下非常清晰的直观形象（常常被称为心理意象），会让人产生清晰明确、天经地义的（被怀特海称为自明的）感觉。若从联系的观点来看，数学思想方法本质上是构建各种数学知识有机联系的方法或线索。
这样我们就比较容易理解为什么数学理解的至善追求是数学思想方法的理解这一命题了。从联系的观点来看，数学理解是在数学知识之间建立联系，而要在众多数学知识之间建立联系又必须首先找到构建数学知识联系的方法或线索—— 数学思想方法。可以说，数学思想方法（作为线索和方法）既是构建联系的前提，同时又是构建联系的目标。这样，数学思想方法层次理解的本质就是要能够用某个思想方法作为线索将所要理解的知识“串联”起来，从而达到奥苏贝尔所提出的“综合贯通”境界。
二、从数学发展历史看，数学思想方法是数学发展的高级阶段
从数学发展历史看，数学思想方法经历了从模糊的感性认识到精确的数学刻划再到形成数学方法直到最后上升为理性的数学思想这四个发展阶段。
在萌芽数学时期，原始人的思维还仅仅处于主客体分化的边缘。其内部意识活动和外部信息活动的区分是极不确定、极不明晰的，原始人的思维以模糊的感性认识为主要形式。考古研究表明，在原始人那里并没有真正的数词，使用的仅仅是执行数词的功能词。而且数本身尚未形成同类序列，还只是一种“数总和”的混合物。[8]比如，在很多原始部落，原始人只能认识到“5”，而大于 5的自然数都统称为“多”。
进入常量数学时期，为了更加精确地刻划研究对象，科学进入了分门别类的研究阶段，人们开始利用演绎方法来探究事物之间的各种联系，其最典型的表现是数学的公理化和推理的严密化。
进入变量数学时期，数学的发展从对事物静态联系的考察进一步发展到对事物动态发展过程的考察阶段。而要全面、深入地考察事物的动态发展过程就必须准确把握事物的发展脉络。于是，数学从过去仅仅着眼于对具体数学知识的研究逐渐过渡到关注数学知识背后的数学思想并进一步发展为立足于数学思想发展变化的高度来认识数学知识这一新阶段，如用函数的思想、变换的思想来重新审视代数学和几何学的本质等。
到了现代数学时期，数学思想方法的研究又得到全新的发展。数学思想方法的研究逐渐从幕后走到了台前，现在，数学思想方法不再仅仅只是研究数学知识的手段或工具，数学思想方法已经直接成为数学研究的对象并迅速发展成为一门重要的数学学科——数学方法论。
为了更好地理解这一过程，我们通过极限思想的发展历史来说明这一点。
如果大家对极限的发展历史有一点了解的话，那么应该知道极限的发展大体经历了以下几个阶段：
1.运用模糊、直观的日常语言对极限思想进行定性的描述的阶段
极限思想起源于无限，最初表现为对无限这一概念的模糊、直观认识。在我国，《庄子·天下篇》中曾经用“一尺之棰，日取其半，万世不竭”形象地反映人们对极限的直观认识，而刘徽提出的“割圆术”则是极限思想的直接运用。在西方，无论是亚里士多德、德谟克利特等人提出的无限概念和无穷小量观念，还是攸多克索斯提出的穷竭法，抑或牛顿、莱布尼兹提出的无穷小概念，都还只是对极限的一种直观认识。尽管牛顿已经发明了微积分，但对极限的认识还没有脱离直观，还存在着很多模糊的地方。英国大主教贝克莱就曾对牛顿的无穷小概念提出了尖锐批评，并指出，“这些瞬时变化率既不是一给定的量，也不是无穷小的量，它什么也不是，它只是消失了的量的灵魂……。”[9]
2.借助于精确的数学语言对极限思想进行定量刻划阶段
微积分产生以后，人们发现微积分的基础存在很多漏洞。为了完善其基础，柯西采用“无限的趋近”、“任意小”等带有模糊性的自然语言来描述极限，但这仍然不能彻底解决微积分基础不严格的问题。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯采用了精确的数学语言——“-N（）”语言来刻划极限，从而把微积分奠基于算术概念的基础上，彻底解决了微积分中存在的漏洞。这样极限从原来模糊的定性描述逐渐转变为精确的定量刻划并因此而导致了数学分析的产生。
3.极限成为解决问题的一种重要方法
极限的产生不仅促进了微积分基础的严格化，而且还导致了诸如“-N（）语言”、“lim”等一系列数学符号的产生。同时极限本身在解决问题中也显示了巨大的作用，用极限既可以求导、求积分、还可以解方程、求收敛级数之和等等，其应用涉及现代数学的众多分支，随着极限在各种问题求解过程中的广泛运用，极限已经成为解决数学问题的一种重要方法。
4.极限升华为一种理性的数学思想
随着极限应用范围的不断扩大和应用层次的不断加深，人们对极限的价值有了进一步的认识，逐渐形成了运用极限的思想来观察问题、分析问题和解决问题的态度，并在此基础上产生了“以直代曲”思想、“逼近”思想等重要数学思想。这表明极限已经逐渐发展成为一种重要的数学思想方法。
三、从人类认识数学的过程看，数学思想的理解是数学理解的最高层次
从人类对数学的理解过程来看，数学思想方法通常起源于人们的认识活动。洛克认为，理解过程从事物刺激感官所得到的简单观念开始（这时理解大部分是被动的），然后运用心中的主动性对简单观念进行合成、联想和抽象而得到复杂观念，大大增加人的理解力（这时候是知觉能力），理解便运用各种观念作为材料，依照这些观念的契合或相违（以此为范围），通过感觉的、直觉的和推论的途径，达到对个别事物、一般原则和上帝等对象的知识。[10]康德认为，一切人的认识都从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想[11]。
通俗地说，数学思想方法的理解需要经历从具有不确定性的数学活动经验中抽取出具有确定性的数学知识，产生解决数学问题的方法，然后再运用这些知识和方法来解决现实世界中的问题、解释现实世界中的现象，并在这种解释世界、解决问题的数学活动过程中形成解决数学问题的观念和态度———数学思想方法这几个阶段。
比如，在学习二分法时，一些有经验的老师就先采用“幸运 52”游戏来让学生体验二分的过程，当学生积累了一定的感性认识以后老师再出示具体方程让学生猜测方程根的分布情况。如让学生模仿“幸运 52”游戏来猜方程“+5x-3=0”的根，先构造函数f（x）=+5x-3并任取两个函数值异号的点如 x=-1，x=1，由此断定在区间（1，1）内一定有根，接着看其二等份点 x=0处的函数值，发现f（0）<0，从而断定在区间（0，1）内有根，然后再看 0与1的二等份点值 x=，发现 f（）<0，这样又可以将判定范围缩小到区间（ ，1），这样的程序可以不断进行下去直到找到方程的根或近似根为止。到了这个时候，老师可以“象这样一种方法我们给它取个名字叫二分法”来点出二分法的本质。在老师的启发与点拨下，学生头脑中对二分法的认识从模糊、直观逐渐变得清晰、明确，能够逐渐理解和掌握二分法的含义及其操作程序。
学生在对二分法本质获得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能够灵活运用这一方法解决各类问题，如用二分法求方程的近似解，求曲线的近似交点等。
而对二分法认识的最高阶段则是形成运用二分法思想观察问题、分析问题和解决问题的态度和数学观。如果学生能够将二分法进一步上升为逼近这一重要数学思想，并能运用逼近思想去观察问题、分析问题和解决问题，那么对二分法的理解就达到数学思想方法理解这一至“善”层次[12]。
四、从专家与新手的解题对比看，专家往往更擅长数学思想方法的理解
数学思想层次的理解是高水平数学理解的体现。德格鲁特（deGroot）在对专家与新手解决问题的过程比较后发现：专家知识是围绕核心概念或“大观点”（bigideas）来组织的，专家解决问题常常涉及到核心概念或“大观点”的思维方式。相反，新手的知识则极少按“大观点”来组织，他们更多的是通过自己的日常直觉寻找正确的公式和贴切的答案。[13]脑科学的最新研究也充分揭示了这一点，一个领域的专家和新手的区别表现为专家倾向于（由于有大量的经验）用更大的组块来组织信息，而新手则以孤立的小块信息来处理。[14]而是否能够很好地进行组块的关键在于解题者能否找到组块的线索和方法——数学思想方法。这就难怪雅克·阿达玛会认为，如果一个人习惯于在较深的层次上进行思想组合，那么他就偏重于直觉型；相反，如果某人习惯于在较浅的层次上工作，他就偏重于逻辑型。[15]比如在解“由△ABC两边AB、AC分别向外作正三角形 ABD、ACE，求证：△ABD≌△ACE”这一问题时，新手往往只能看到这两个三角形全等这一点，而专家则往往还能看到可以通过旋转变换将其中一个三角形变换到与另一个三角形重合这一面。前者仅仅着眼于三角形全等判断定理的具体运用，而后者则能立足于变换这一重要数学思想来处理数学问题。
可见，新手或初学者往往比较关注细节，而专家或复习旧知时则更关注思路或方法等宏观方面。专家之所以比新手高明就在于专家往往能够借助于数学思想方法或站在数学思想方法的高度来认识所研究的问题。这就难怪日本数学教育家米山国藏为什么那么看重数学思想方法，为什么始终把数学思想方法的理解作为数学素质的核心，并提出了“不管学生毕业以后从事何种工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们终身受益。”这一至理名言。
综合以上分析，我们完全可以得出这样的结论，那就是，数学思想方法的理解是数学理解的最高层次，是数学理解的至“善”追求。
【参考文献】
[1]张学广.维特根斯坦与理解问题.陕西：陕西人民出版社，2003.
[2]邓东皋等.数学与文化.北京：北京大学出版社，1999.
[3]喻平．知识分类与数学教学．数学通报，2000（12）.
[4] [美]D.A.格劳斯：数学教与学研究手册．陈昌平等译．上海教育出版社，1999．
[5]李士锜．数学教育心理.上海：华东师范大学出版社，2001．
[6]曹才翰，蔡金法.数学教育学概论.南京：江苏教育出版社，1989.
[7]蔡上鹤.数学思想与数学方法.中学数学，1997.
[8]李晓明.人类认识之谜.北京：人民出版社，1987.
[9] M·克莱因.西方文化中的数学.张祖贵译.上海：复旦大学出版社，2005.
[10]张学广.维特根斯坦与理解问题.陕西：陕西人民出版社，2003.
[11]乔治·波利亚.数学的发现.刘景麟等译.内蒙古：内蒙古人民出版社，1981.
[12]钟志华.数学思想方法的理解探索.教学与管理，2009.
[13] [美]约翰·布兰斯福特等.人是如何学习的.程可拉等译.上海：华东师范大学出版社，2003.
[14] [美]PatriciaWolfe.脑的功能——将研究结果应用于课堂实践.中国轻工业出版社，2005.
[15] [法]雅克·阿达玛.数学领域的发明心理学.陈植荫，肖奚安.南京：江苏教育出版社，1988.