【编者按】如果一位数学教师辛辛苦苦地上完了40分钟的一节课，你问他：“你教的是数学吗？”他也许会诧异地耸耸肩：“当然！”可实际上，在教学过程中，有时教师过于关注数学知识呈现的素材和方式，而忽略了数学知识本身；有时只关注数学技能技巧的掌握这一结果，而忽视了体验和形成技能技巧的过程！这种现象实质上和教师对数学本质的认识以及学生对数学本质的理解相关。这就需要我们努力提升自身的本体性知识和实践性知识，同时，也启发我们研究小学生学习数学的认知规律，辩证地认识学生在学习过程中的感性经验和理性认知，“适度数学推演，提升理解水平”，从而打开儿童通往“理性世界”的那一扇大门。
聚焦数学本质促进数学理解
匡金龙
（江阴市教育科学研究室，214400）
摘要：聚焦数学本质，促进数学理解是数学教学的永恒追求。数学教学中，新知引入时应该追本溯源，新知探究时注意探本穷源，新知应用时重视强本固源。教师通过深度引领与智慧点拨，促进学生实现数学深度理解，发展智慧。
关键词：数学本质 理解 追本溯源 探本穷源 强本固源
英国学者Ｐ．欧内斯特（Ｐ．Ｅｒｎｅｓｔ）说：“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……如果不正视数学的本质题便解决不了关于教学上的争议。”数学本质在微观上是指具体数学内容的本真意义。它既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。数学教学聚集数学本质，就是要正确认识数学知识的本质属性，引导学生体验知识的形成和发展过程，在理解数学知识的同时，感受数学知识背
后的数学思想方法。
一、新知引入，追本溯源
美国心理学家阿希认为：第一印象的作用最强，持续的时间也长，比以后得到的信息对于事物整个印象产生的作用更强。人们对事物的印象一般是以第一印象为中心形成的。因此，要让学生在有限的时间内学到有价值的数学，新知导入时就要切中学习内容的本质，为新知探究奠定必要的基础。
（一）情境和素材贴近本质
情境和素材是数学知识和数学问题的基本载体。学生学习情境和素材的选择要尽可能地贴近数学事实，利于激发学生学习数学的热情，利于学生通过观察、想象、对比、归纳等一系列手段，发现其中蕴含的知识内涵，更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，以便于他们从整体上理解数学，把握数学的本质。例如，教学苏教版小学数学六年级上册《替换的策略》，在引入部分，有位教师提供了看天平说结果的情境素材：第一个天平的一端放3个苹果，另一端放360克的砝码；第二个天平的一端放2个苹果和3个梨，另一端放540克的砝码，让学生说出每个苹果和梨的重量。分析这一素材，这里呈现的天平事理与替换的数理是相通的：首先，天平的平衡反映了替换中的等值交换；其次，先前直观的操作演示利于启迪后续的替换思考。学生在感知这一情境的过程中，能够利用生活经验，初步感悟替换的本质内涵，为后续的理解打开了通道。
（二）已有经验对接本质
学生的学习是基于经验的。数学本质的理性把握，必须基于学生认知经验的基础。数学教学应该与学生的已有经验有效链接，唤醒学生心理上与数学本质相通的生活体验与相关知识，以意义理解为突破口，帮助学生找到理解的支点，适时对学生的经验进行重组、改造和提升。例如，教学苏教版小学数学四年级
下册《乘法分配律》时，有位教师出示了这样两道实际问题：（1）上衣每件65元，裤子每条35元，买这样的8套一共需要多少元？（2）一张课桌56元，一把椅子24元，买这样的10套需要多少元？要求学生用两种方法解答。依据学生心理发展的规律，数学模型的建立必须以直观具体的内容作为抽象形式的背景与基础。学生对于乘法分配律的使用，生活中是有经验的。解答这两道题的过程，就是引导学生将生活现象中的具体属性抽象出来，成为乘法分配律的数学模型。这样的经验唤醒，有利于揭示乘法分配律的本质，促进学生借助生活事理深层次地理解乘法分配律。
（三）问题设计紧扣本质
只有那些能够激发学生强烈的学习需要与兴趣的教学，那些在教学内容上能够切人并丰富学生经验系统的教学，才能有效地促进学生的发展。因此，新课伊始，创设富有挑战性的、紧扣新知本质的问题情境，能够激发学生带着积极的情绪、强烈的需要参与到探究数学的过程中来。例如，教学苏教版小学数学三年级下册《认识分数》时，有位教师设置了这样的问题情境：花果山上有三个家庭，一家有2只小猴，一家有3只小猴，另一家有4只小猴。一天，三个猴妈妈们一起下山，都买了一个同样大的饼。回家后，猴妈妈们把买的饼分给小猴吃。想一想，每家的猴妈妈怎样分这个饼比较合适？同样是吃了一份，这三家的小猴吃得同样多吗？它们到底吃了多少个饼呢？怎么说既简单又清楚呢？学生在表述分到的饼时，用到了“半个”、“小半个”、“小小半个”等词语、概念。这时，教师通过“怎么说既简单又清楚呢”这一问题，诱导学生探寻新的表达方式，切中了分数意义的本质，为实现对分数本质意义的理解作了良好的铺垫。
二、新知探究，探本穷源
第斯多惠在《德国教师教育指南》中谈到：“只有教给学生以最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里。”因此，在新知展开的过程中，需要教师关注数学概念、思想的本质以及发展的历史脉络，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，尽最大可能将学生的思维聚焦到数学知识的本质内涵中，让学生的思维在跌宕起伏中真正理解知识的本质。
（一）引导探究，直指本质
波利亚认为，学生学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。因此，在新知探索环节，教师要精心创设问题情境，促使学生深入思考，让数学知识通过学生的“再创造”活动，自然纳入自身的认知结构中。例如，教学苏教版小学数学三
年级下册《长方形的面积》时，一位教师先后出示长4ｃｍ、宽2ｃｍ，长5ｃｍ、宽3ｃｍ，长8ｃｍ、宽6ｃｍ，长30ｃｍ、宽20ｃｍ的四个长方形图，引导学生借助手中的8个小正方形，探索长方形的面积公式。教师循序渐进地引导学生经历了探究的过程：第一个长方形，直接摆就可以得到面积，体会面积的本质是若干个面积单位的集合。面积单位是小正方形，平面图形的大小就是看它包含多少个小正方形这种面积单位。接下来的长方形，如果摆满的话，手中的小正方形不够，这是一次思维的跳跃，学生要想到只沿着长方形的长和宽摆。这就实现了从形象到抽象的提升，部分学生可能还会依赖具体的操作，但一些学生可能会利用表象进行思考了。最后呈现的长方形，用小正方形摆太麻烦了，促使学生在抽象层面进行思考，长是多少就是一行摆多少个，宽是多少就是摆这样的几行，从而经历压缩推理的过程，“创造”出长方形面积的计算公式。上述“具体操作一表象操作一抽象概括”的数学化的探究过程，引导学生逐步深刻地理解了长方形面积公式的本质意义，发展了学生的数学思维，增强了空间观念。
（二）暴露思维，凸显本质
数学教学的重要使命是使学生通过数学学习学会“数学地思维”。在引导学生思维的过程中，教师要充分暴露学生自然的思维过程，激发学生思考争辩，鼓励学生多维交流，让他们在尝试、探索、解惑的过程中，在不同角度、不同层次的理解中，不断修正自己的观点，逐渐发现事物的本质，获得对知识的深入理解。例如，苏教版小学数学三年级下册《认识分数》的教学，为了让学生深刻理解把一个整体平均分成若干份后用分数表示其中的一份，有位教师在带领学生探索４个桃的四分之一后，出示了８个桃的图片，让学生在图上表示出“将８个桃平均分给４只小猴吃，每只小猴可以得到这８个桃的几分之几”。反馈时，学生充分暴露了思维过程：有的说是八分之二，因为有8个桃，每只小猴吃到了2个，所以是2/8；有的说是2/4，因为是平均分成4份；还有的说应该是1/4……在一段时间的争辩后，答案趋向一致，一个学生总结道：“这里讲的是分数，只要看平均分成的份数和取的份数，与总个数没有关系，所以是四分之一。”上述暴露学生思维的环节中，学生通过交流、反思，认识从“关注个数”转向“关注份数”，逐渐把握了1/4的本质属性，学生在争辩中经历了冲突、碰撞、重组和整合的思维进程，实现了分数意义的初步建构。同时，这样的争辩还使学生获得“精神的熏陶”，即超越知识学习的技巧性与功利性追求，拥有数学课堂本该拥有的思辨的文化气质和从容姿态。
（三）及时类化，固化本质
人类进行发明创造的过程有时也是知识类化的过程。在数学教学中，教师要善于把握知识之间的内在联系，抓住问题的本质核心，在教学中合理运用类化，促进学生对数学知识本质的理解，培养学生的创新思维能力。例如，苏教版小学数学四年级下册《乘法分配律》的教学，部分教师局限于教材上“（a＋b）×c＝a×c＋b×c”这种范式的探究，这样学生对乘法分配律的本质理解是不够深入的。其实，在得出范式后，可以带领学生进行知识的两次类化。第一，根据乘法分配律的意义判断下面两组等式是否成立：35×18＋26×18＋39×18＝100×18，102×29—2×29=100×29。学生在说理的过程中，思维快速向纵向“数学化”铺开，明晰乘法分配律的本质含义一一无论算式怎么变形，等式两边都是求相同的几个几。第二，利用乘法分配律说说竖式计算125×88的原理。学生在叙述算理的过程中，沟通了竖式与乘法分配律本质之间的联系。两次类化，引领学生理解了问题实质，不断提升思维水平。
三、新知应用，强本固源
新知应用环节是课堂教学的重要组成部分，是促进学生有效理解知识本质内涵的重要环节，是完善学生认知结构的核心部分。在这一环节，教师要有针对性地设计一些练习，促进学生对知识的比较、辨析、归纳、拓展、联想，实现深度理解。
（一）变式比较，突出本质
变式比较，即根据教学内容的需要，从不同角度组织材料，不断地变换教学素材与情境的呈现形式，变换习题的非本质属性，突出本质属性，让学生领略“万变不离其宗”的奥妙。例如，对周长的意义探究完毕后，有位教师对正方形的周长进行多次变式：先出示一个用12根小棒搭成的正方形，让学生说说周长是多少；然后变成剪去一个角的正方形，让学生通过操作说说周长是多少；再变换成“凹”字形、“凸”字形，让学生想办法说出周长是多少。这里的三次变化，创设了图形“变”与“不变”的情境，学生由直观操作逐渐过渡到表象操作，从“变”中发现“不变”的本质，对周长的本质理解更深入。
（二）疑难辨析，清晰本质
皮亚杰认为：“学习是一种通过反复思考招致错误的缘由，逐渐消除错误的过程，这也同样适用于学习过程中存在的混沌。”面对学生在新知学习中出现的混沌，教师应给学生提供一定的时间进行辨析，由表及里、去伪存真，认清数学问题的本质。例如，对体积概念初步认识后，有位教师及时创设了情境辨析题：１千克的泡沫与１千克的铁块体积一样大；第一块橡皮泥（扁扁的长方体）的体积比第二块橡皮泥（正方体）的体积大。学生在判断时，多数受表面现象的干扰，认为两题均是正确的。于是，教师及时进行情境操作，让学生现场掂一掂、看一看，引导学生逐渐剥离干扰体积概念形成的非本质属性，清晰地认识体积的本质内涵。
（三）实践应用，提升本质
数学在现实世界中有着广泛的应用。教师应当呈现实际问题，不断激发学生应用数学的兴趣，发展学生的思维，培养学生的探索意识、应用意识和实践能力。例如，教学苏教版小学数学六年级上册《长方体表面积的认识》后，一位教师及时组织学生进行实践活动：将这两盒火柴包装起来，设计一个包装方案并计算需要多少包装纸。反馈时，有的小组三种包装方案全部想到，并一一算出了需要的包装纸；有的小组提到了把两个最大的面放在一起包装最合理，因为这样最省材料……这样的实践活动，不仅有助于学生理解长方体表面积的含义和应用价值，还有助于他们感悟数学思想方法，形成积极的数学学习情感。
“本质是灵魂的回头，是静心的观照。”从数学本质出发，展现数学的独特魅力，学生才能通过主动积极的学习，建构对数学的理解，当然也包括对数学学习本身（观念、态度、方法和价值观）的理解，从中获取智慧的启迪、素养的滋润和生长的力量。