基于直观想象过程中的问题驱动探析
——以“二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）”教学设计为例
主讲人：江阴市成化高级中学 张龙伍
一、问题提出
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解、解决数学问题的过程，包括借助空间认识事物的位置关系、形态变化、运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；建构数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，直观想象是发现、提出、分析解决数学问题的重要手段，是探索形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础，直观想象能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力。
问题驱动是贯穿于数学教学的始末，在教学实践中，通过设置一系列的问题情境来引导、启发学生进行思考探究、合作交流、抽象概括，用问题串驱动教学过程，启发学生的思维，引导学生积极思考不仅是教学实践中一个基本的教学策略，也是提升学生学科素养的必要而高效的课堂教学方式。
基于此，笔者对“二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）”的教学设计谈点自己的拙见。
二、教学要素分析
（一）教学内容解读
本节课是新版教材人教版2019A版普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时。从内容上看是初中数学学过的一元一次不等式的延伸，同时也是与一元二次方程、二次函数之间紧密联系，涉及的知识面更多。从数学思想方法上看，本节课突出体现了转化与化归、数与形结合等思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个高中数学中具有较重要的地位和作用。
（二）教学目标设置
根据学生的实际情况及新课标要求，制定如下教学目标：
（1）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；
（2）通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的练习，获得一元二次不等式的解法；
（3）培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
三、教学过程设计
（一）情境引入
设计意图：通过具体的生活情境，引入本节课题，让学生明确学习本节课内容的必要性，形成一元二次不等式的概念，进一步培养学生数学抽象和数建模的核心素养等。
（二）新知探索
1、一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或a，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2、二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点．
注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
问题3：一元二次不等式与二次函数之间的关系？
二次函数的函数图像如下，
问题4：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？
当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？
当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？
设计意图：通过具体的一元二次不等式解法的实践探究，让学生体会转化与化归、数与形结合的数学思想方法。同时进一步培养学生的数学抽象和数学直观的核心素养。
问题5：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？
我们知道，对于一元二次方程，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.
小组活动：
1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。
2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？
根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格：
Δ=b2-4ac |
Δ＞0 |
Δ=0[来源 |
Δ＜0 |
二次函数y=ax2+bx+c(a＞0) 的图象 |
[来 |
|
|
ax2+bx+c=0的根 |
|
x1=x2= |
|
ax2+bx+c＞0的解集 |
{x|x＜x1或x＞x2} |
{x|x≠}[来 |
R |
ax2+bx+c＜0的解集 |
{x|x1＜x＜x2} |
|
|
归纳小结：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
（三）思考诊断
问题6：二次方程x2－x－6＝0的根与二次函数y＝x2－x－6的零点有怎样的关系？
问题7：画出二次函数y＝x2－x－6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集吗？
问题8：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．( )
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
设计意图：通过思考诊断，进一步加深对一元二次方程的根与二次函数的零点的区别与联系，同时也进一步理解三个“二次”的关系。
（四）典型例题
题型一 一元二次不等式的解法
例1：解不等式: （1） x2－2x－15≥0 ；（2）- x2 + 2x – 3 >0 ；（3）x2 + 4x + 4 > 0。
归纳小结：
解一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
设计意图：通过典型例题的解析，让学生总结归纳，解一元二次不等式的基本步骤。
练习巩固：
解下列不等式：(1)－x2＋7x>6； (2)(2－x)(x＋3)<0； (3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高解决一元二次不等式的的能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。
题型二 三个“二次”关系的应用
例2、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
归纳小结：
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
设计意图：通过本例题的解析，进一步加强对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间相互关系。
巩固练习：
1.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，求a的值。
2.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
（五）课堂总结
1．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).
2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．
3．解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.
设计意图：学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点。
（六）教学反思
问题探究是提高学生思维能力、促进学生学科素养增长的一种重要教学形式。所以，在平时的教学活动中，教师要多思考如何精心组织有效的探究情境来激发学生主动探究的兴趣，只有这样，我们的数学课堂才会真正有利于学生发现问题能力的提高，有利于学生学习数学兴趣的培养，有利于学生终身良好学习习惯的养成。