人教版2019A版第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
江阴市成化高级中学 张龙伍
一、教材分析
本节课是新版教材人教版2019A版普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时。从内容上看是初中数学学过的一元一次不等式的延伸，同时也是与一元二次方程、二次函数之间紧密联系，涉及的知识面更多。从数学思想方法上看，本节课突出体现了转化与化归、数与形结合等思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个高中数学中具有较重要的地位和作用。
二、教学目标与核心素养
（一）课程目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；
2.通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的练习，获得一元二次不等式的解法；
3.培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
（二）学科素养
1.数学抽象——一元二次不等式的定义及解法；
2.逻辑推理——理解三个“二次”的关系；
3.数学运算——按步骤解决一元二次不等式；
4.直观想象——运用二次函数图像解一元二次不等式；
5.数学建模——将生活中的不等关系转化为一元二次不等式解决。
三、教学重、难点
重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型；
2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现转化与化归、数与形结合等数学思想.
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的内在联系。
四、课前准备
多媒体、实物展台等
五、教学过程
教学过程 |
设计意图 |
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（一）情境引入 问题引入：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为(12-x)ｍ． 由题意，得:(12-x)x＞20，其中． 整理得 ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
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通过具体的生活情境，引入本节课题，让学生明确学习本节课内容的必要性，形成一元二次不等式的概念，进一步培养学生数学抽象和数建模的核心素养等。 |
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（二）新知探索 1、一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或a，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． 注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 思考：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 探索问题：一元二次不等式与二次函数之间的关系？ 二次函数的函数图像如下，
思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？ 当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？ 当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？ 思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？ 我们知道，对于一元二次方程，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论. 根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格：
归纳小结：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． |
通过具体的一元二次不等式解法的实践探究，让学生体会转化与化归、数与形结合的数学思想方法。 同时进一步培养学生的数学抽象和数学直观的核心素养。
小组活动： 1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。 2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？
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（三）思考诊断 1．二次方程x2－x－6＝0的根与二次函数y＝x2－x－6的零点有怎样的关系？ [答案] 方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝1－4·1·(－6)＝25>0，可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1＝－2，x2＝3.所以二次函数有两个零点：x1＝－2，x2＝3.所以二次方程的根就是二次函数的零点
2．画出二次函数y＝x2－x－6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集吗？ [解析] 二次函数y＝x2－x－6的图象如图，观察函数图象可知： 当x<－2，或x>3时，函数图象位于x轴上方， 此时，y>0，即x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}； 当－2<x<3时，函数图象位于x轴下方， 此时y<0，即x2－x－6<0；所以，不等式x2－x－6<0的解集是{x|－2<x<3} 3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( ) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( ) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．( ) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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通过思考诊断，进一步加深对一元二次方程的根与二次函数的零点的区别与联系，同时也进一步理解三个“二次”的关系。 |
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（四）典型例题 题型一 一元二次不等式的解法 例1：解不等式: x2－2x－15≥0 解：原不等式变形为（x+3）(x-5) ≥ 0 方程(x+3)(x-5)＝0的两根为: x＝－3，或x＝5 ∴ 不等式的解集为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。 例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0 解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 所以方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф 例3、解不等式： x2 + 4x + 4 > 0 解：原不等式 小结： 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 练习巩固： 1．解下列不等式： (1)－x2＋7x>6； (2)(2－x)(x＋3)<0； (3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝3(2). 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
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通过典型例题的解析，让学生总结归纳，解一元二次不等式的基本步骤。
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