1．操作探究问题的两种呈现形式

波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”．《义务教育数学课程标准》（2011版）^[1]（以下简称《标准》）指出：教师要通过“创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等”，让学生“有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，这个过程就是将创新思维的“归纳科学”与理性思维的“演绎科学”有机融合的过程．“学生多经历这种先通过合情推理探索到数学结论，再运用演绎推理加以证明的实验过程，对培养他们的数学能力是非常有益的，这样安排也是符合课程改革理念的．”^[2]源于此，探究性问题在课堂教学、试题命制中成为一道亮丽的风景线．

操作探究问题从呈现形式上看可以分为两类：一类是外显式探究．如2014年山西省中考数学卷的第23题考查了《正方形折纸中的数学》的课程学习，试题通过“动手操作”、“数学思考”、“问题解决”等提示语引导学生经历操作探究过程，这类问题基本模式是：操作探究—猜想结论—证明结论—结论运用—结论拓展，并有明确的文字要求．另一类数学问题，尽管从字里行间找不到“操作”与“探究”的文字，却充满了操作探究的气息，我们称之为内隐式探究问题．本文拟通过几道内隐式探究中考题的分析，谈谈探究内隐于题的命题方式的指向意义．

2．内隐式探究问题的案例分析

“在探究教学中，内隐学习占了极重要的地位．探究教学是教师传递缄默知识的有效途径，它有利于激发学生的内隐学习，培养学生解决问题的能力，发展学生创造性思维品质和积极进取精神．”^[3]近年来不少优秀试题，去除了形式化的所谓“探究”，但探究却充分镶嵌、内隐在问题的发现、提出与解决过程之中，这个过程是动态操作、尝试猜想、联想决策、运算验证的过程，是将静态问题动态化思考、动态问题辩证化思考的过程，也是由直观到抽象的思维过程．

2．1 静态问题内隐着动态操作

一些数学问题从形式上看是静态的，但其解决过程却充分内隐了动态操作．用动态的观点去思考、用运动的方式去探究成为解决这类问题的新思路．

例1 （2014年泰州卷第16题）如图1，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于  ▲  cm．

图1

本题源于苏科版实验版九年级上册第一章《图形与证明（二）》第3节的习题第7题（第26页）的一道习题的变式，通过交换原题的条件、结论，并对部分条件适当强化（∠DAE=30°、M为AE的中点）而形成．学生由条件“PQ=AE”很快联想课本题得到“PQ⊥AE”，从而直接有“AP=2”的错误结论，这或许因对课本题过度机械强化造成了学生的思维定势．

l

图2

事实上，作PQ⊥AE分别交AD、BC于点P、Q（如图2），易知PQ=AE，在Rt△AMP中求出AP=2．过M作直线l⊥AD，根据对称性，那么一定存在与PQ关于直线l对称的线段P′Q′，使P′Q′=PQ=AE满足条件，从而求得A P′=1，故AP的长为2或1．也可以在AD上取一点P′，使∠DP′M=∠DPQ=60°，延长P′M交BC于点Q′，易得P′Q′=PQ（以下同上）．

什么是操作探究？不在于试题的形式，而应该看问题的实质．本题从题目形式上看是静态问题，但点P的位置在确定之前是动态的，我们可以结合图形尝试探究：不妨将问题看成一直线绕点M旋转，观察在什么情况下有“PQ=AE”．此时点P的两种位置油然而出，其中一种位置就是学生熟悉的“PQ⊥AE”的情形，还有一种位置便是与“垂直”的情形成轴对称．

笔者想：教师在课本原题“由垂直得相等”的教上一定会不惜花费时间，如果反过来追问并引导学生动手操作：线段相等时一定垂直吗？学生就会茅塞顿开．从学生答题情况来看，教学中缺少了这个环节．

2．2 内隐的变化趋势在操作中外显

“逻辑的理性思维决不是数学思维的全部，数学思维还包括非逻辑或不完全逻辑的直觉思维”^[4]．操作探究可以为数学为思维打开另一扇窗．一些图形可以通过动态操作，将内隐的变化趋势外显化，并从整体上把握变化趋势，为说明量变找到形变的直观感知，从而确定量的关系及特征．

例2（2012年泰州卷第26题）如图3，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；

O

B

P

C

A

l

图3

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

此题3个小问具有相互渗透、逐层递进的关系．第（1）小题是基于题干的设问，第（2）小问则是附加条件后的计算长度问题，从（1）、（2）两问感知两点：一是在题干条件下，⊙O的大小、所有线段长度都可以变化（OA已知是为了表述方便），但AB与AC的数量关系不变；二是除OA外，只要任一线段长度确定，其他所有线段长度也随之确定．

B

P

C

A

l

m

O

B

P

C

A

l

m

O

B

P

C

A

l

m

①

②

③

图4

那么，随着⊙O半径 r的变化，图形的位置关系、⊙O的大小与相关线段长度有怎样的变化趋势呢？这种趋势对第（3）问的解决有何影响呢？这就得通过动态操作来获取直观感知．

 

 

 

 

 

 

我们知道：以AC为底边的等腰△QAC的存在情况取决于点Q的存在性，而点Q的存在性又由AC的垂直平分线m与⊙O的公共点存在的情况决定．不妨进行这样的操作：改变⊙O半径大小观察“公共点”变化情况．

通过操作观察发现：从图4①到图4③，⊙O的半径r由小变大，线段AB（即线段AC）逐渐变小，AC的垂直平分线m逐渐靠近⊙O，直至与⊙O相交，即直线m到圆心O的距离变小，直线m与⊙O的公共点个数由0个到1个再到2个，即以AC为底边的等腰△QAC有“不存在、只有1个、有2个”共3种情形．

在操作获得初步感知后进行定量分析：直线m到圆心O的距离d =AC=，先确定临界位置（如图4-②），当d = r =，即时直线m与⊙O只有一个公共点，即以AC为底边的等腰△QAC存在且唯一；如图4-③，当时直线m与⊙O有两个公共点，即以AC为底边的等腰△QAC有两个，考虑到条件“直线l与⊙O相离”，故．综上所述，r的取值范围为≤（结论也可以通过d <r，即<r求得）．

通过对图形的运动操作，对位置关系及变化趋势获得初步感知，为定量计算、解决问题奠定了基础．试想：缺少了对图形动态的操作过程，很难获得对问题的整体把握和思路的清晰顺畅，而这种变化趋势却内隐在问题之中．

3．3 内隐的思维基于直观操作

“解题的灵感往往来自于几何直观，对于数学中的很多问题，数学家也总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使它们成为数学发现的向导．”^[5]这种操作是形象直观的，但决不应是表面的、浅层的、为操作而操作的，而应是内隐的、指向思维的．

例3 （2014年泰州卷第26题）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数（x>0）与（x<0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）、（2）（略）；

（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数（x>0）的图象都有交点．请说明理由．

x

y

O

C

D

E

P

图5

问题（3）简解：（如图5）解法一：∵a≥4，∴a-3≥1>0，所以，直线CD与函数（x>0）的图象有交点，设直线CD与图象的交点为P（，），因为a≥4，∴≥4，∴≤3，而=，所以≤3，所以≤+3．因为C的坐标为（，），D的坐标为（，），所以点P在点C与点D之间，所以CD边与函数（x>0）的图象一定有交点．（另一种方法可以将问题转化为证明CP≤3（过程略）

从解答过程来看，问题（3）重点考查了形数转换和代数推理能力．那么，解题策略从何而来呢？

我们知道：函数（x>0）的图像(记为L)是确定的，但由于A是L上一动点，因此满足条件的正方形ACDE也是动态的．我们就要探究在这个运动过程中，L与正方形ACDE的边的交点情况究竟如何．

如图6所示，通过画出一系列符合条件的图形，或剪出与正方形ACDE大小一样纸片，按条件要求放置并自左向右移动（如图6①—④），观察正方形ACDE的边CD与L的交点的大致位置和条件．

②

③

图6

①

通过上述操作，正方形ACDE的位置及L与各边交点的情况了然于心，同时还能直观得出下列结论：

（1）要满足题设要求，必须具备下面两个要素：

①L与直线CD相交；②交点在线段CD上．

（2）随着正方形向右移动，L与线段CD的交点P从D点开始，这就是为什么题设给出“正方形边长为3、实数a≥4”“的原因所在．

由此得到解题思路为：用a的代数式表示出C、P、D的纵坐标、、，并证明、、满足≤≤；或用a的代数式表示PD的长，再证明0≤CP≤3．事实上，当a≥4时，两个不等式的左边都不带等号．

题目通篇未提及“操作”二字，但解决策略正基于操作探究，操作探究在解题思路的探索过程中发挥着举足轻重的作用．直观的操作是思维的基础，是寻找思路的前提，没有思维的操作是无效的操作．

3．内隐式探究问题的指向意义

笔者认为：内隐式探究的命题方式是一种本真的命题指向，即指向真实与常态、指向抽象与思维．

3．1 内隐式探究指向真实与常态

一方面，操作探究要研究真问题．操作探究问题形式多样，可以文字形式提出明确的操作步骤和探究要求，旨在引导教师在教学教程中落实课程标准．然而“许多操作都是由教师事先设计好的，学生根本不用思考怎样设计，更不知道为什么这样设计，他们只是在完成教师下达的一个个指令被动地接受操作．”^[6]但现实中的问题又有谁来用提示语不断引导、提醒：该操作了、该提出猜想了、该验证了、该运用了……大多数数学问题的探究要求、探究方式都内隐其中．因此，更多试题的命制应为学习者提供真实的情境，通过学生的自主探究活动，积累数学问题解决的活动经验．

另一方面，内隐式探究问题是常态化问题．从课程角度来说，作为培养学生创新能力的一种方式，要将操作探究活动“以‘内容渗透’与‘专题穿插’两种方式体现在数学课程中”^[7]，并贯穿于学生学习过程的始终，成为数学教学与学生学习的常态，如概念的形成、定理的发现、问题的变式都应该融入探究式的学习．

3．2 内隐式探究指向抽象与思维

数学学习终究要指向思维．《标准》中十大核心词之一的“几何直观”（更广的视角是数学直观）就是基于初中学生的认知结构与创新思维的要求．通过操作发现的结论是直观与归纳的结果，是发现问题和提出问题的过程，是学习的初级阶段．

一方面，猜想归纳的结论正确与否依赖于推理与演绎，从而将“归纳科学”与“演绎科学”有机结合，这是数学与其他实验性科学的区别所在．正如“哥德巴赫猜想”，经过无数数学人艰苦卓绝的努力，谁也没有理由推翻它，但离摘取“皇冠”仍然就差那么一点．

另一方面，“学习材料在难度、性质、呈现方式等方面影响着内隐学习. 难度高、复杂的材料比简单的材料更适合内隐学习；抽象性高的材料比抽象性低的材料更适合内隐学习．学习材料的难度与性质还共同作用于内隐学习，在‘复杂’而‘形象’条件下内隐学习成绩最突出．”^[3]这就要求教师在教学中，着力强化学生探究的意识，合理分布操作与思维的时空，并将操作引向思维．如探究前应给予学生一定的思考时空，在经过想象、猜想后，指导学生操作、探究并验证自己的猜想，再进行推理与演算，从而将问题的研究引向深入，而不是抛出问题后急于让学生动手操作，以免学生形成对操作的过度依赖．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011）[S]．北京：北京师范大学出版社，2011：5．

[2]李树臣．论数学实验的教学价值[J]．中学数学（下旬）2009（11）：1-4．

[3]俞昕．教师主导下的数学内隐式探究[J]．教学月刊（中学版）2014(1)：31-33．

[4]高敏．试论学生的直觉思维能力及其培养[J]．中学数学（上旬）2014（6）：54-55．

[5]崔恒刘．几何直观助解中考动态题的教学案例分析与思考[J]．中学数学（下旬）2014（6）：31-33）．

[6]邱福贵．让数学活动成为探索的桥梁[J]．数学教学通讯(教师版)2009(1)：5-6．

[7]谢益民．美英新日四国数学探究活动的发展评述及启示[J]．中学数学教学参考（高中版）2007(5)：35-37．