无锡市2014年春学期普通高中期末考试试卷 2014．6

高二数学（理科）

命题单位：锡山区教研室    制卷单位：宜兴市教研室

注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．

 

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请直接将答案填在题中的横线上．）

1．已知，其中为虚数单位，则= ▲ ．

2.用数学归纳法证明不等式“”,当时，不等式左边的项为 ▲ ．

3．用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有2个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中， ▲ 个锐角”．

4．在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则n的值为 ▲ .

5．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局,则再赛2局结束这次比赛的概率为 ▲ ．

6．若…,则…的值为 ▲ ．

7．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率为 ▲ ．

8．设在12个同类型的零件中有2个次品，从中抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数,则的数学期望= ▲ ．

9. 观察下列等式：

    ，

，

，

    ，

……

由以上等式推测到一个一般的结论为：

对于， ▲ ．

10．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是 ▲ （用数字作答）．

11．有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为 ▲ ．

12．某运动比赛项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ▲ 种（用数字作答）． 

13．设，则不大于S的最大整数为 ▲ ．

14．号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球． 若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有 ▲ 种（用数字作答）．

 

二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

 设复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若为纯虚数, 求实数m的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16．（本题满分14分）

已知矩阵（，为实数）．若矩阵A属于特征值2的一个特征向量为．

（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；

（Ⅱ）求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

17．（本题满分14分）

已知直线的参数方程为（t为参数），曲线的极坐标方程为：（极点与坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合）．

（Ⅰ）求直线被曲线所截的弦长；

（Ⅱ）将曲线C以极点为中心，逆时针旋转角得到曲线，使得曲线与直线相切，求角的最小正值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．（本题满分16分）

甲、乙两班各派三名同学参加科技知识竞赛活动，必答题第一阶段每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．

（Ⅰ）用X表示必答题第一阶段甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；

（Ⅱ）必答题第一阶段记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．（本题满分16分）

设关于正整数的函数．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论．

 

 

 

 

 

20．（本题满分16分）

．

（Ⅰ）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求的值；

（Ⅱ）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求证：是关于的一次多项式．