——中考数学专题复习编题例谈

江阴市利港中学  刘 杰

中考数学专题复习常以内容广、难点高、思想方法活而著称。它是在一轮基础复习整体梳理，知识网络建构之后，，以提升解题能力和优化思维品质为目标的知识综合运用阶段．

现实教学中教师往往是选择一道或二道难题讲解便草草收场，导致复习低效，甚至无效。如何科学备考？笔者以为，专题复习例题的选择和设计，是一个关键环节。有针对性的精选题目，统领整个复习内容；精心改编，给学生优质的学习材料，让学生充分获取解题营养。

1、知识系统化，有机整合

专题复习的核心内容和方法就是基于案例深度分析数学知识点的本质与结构，并对学生学习数学的思维路径以及困难展开分析，为学生提供一系列有层次性、数学情境本质相同或类似、多样化活动的“情境串”．二轮专题复习不是单纯的第二遍复习，应注重知识重组和知识内在联系，将知识系统化，形成一个由知识点到知识面、最后到知识网络的综合化，使复习具有系统性．

例1：（2014四川内江第28题改编）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，

= 1 \* GB3 ①求线段PQ的最大值；

= 2 \* GB3 ②当直线PQ恰好把△ABC的面积分为相等的两部分时，求点P的坐标；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

（4）抛物线的对称轴上是否存在点N，使△ABN为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，说明理由．

（5）在x轴上是否存在点E，使得以点A，B，C，E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，说明理由．

（6）抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ACF的周长最小？若存在，求出点F的坐标；如果不存在，说明理由．

改编意图：问题1即涉及代数式、方程、不等式、函数等代数知识，又涉及圆、轴对称、直角三角形、平行四边形、面积等几何知识．除此以外，还把图形运动变换带了进来，探求动点在图形上运动时，能否在函数图像上找到可以构成等腰三角形、直角三角形、平行四边形等知识点．在问题解决的过程中，学生经历数形结合的各种类型，把图形的性质问题转化为数量关系的问题．该题改编后，以抛物线为背景把初中重要的一些知识点进行串联，使知识网络的综合化．学生在解题过程中，体会到数形结合和转化的数学思想和方法，使复杂问题简单化，获取化难为易的解题经验．

2、问题层次化，分散难点

二轮复习特别忌讳“拿来主义”和“就题讲题”，而应该实际学情对试题进行再度改编和开发．精选好具有可变性的试题，引导学生逐次深入研究，最后揭示解法本质，有助于完善数学知识结构，提高思维的灵活性及形成一定的解题策略．

例2：矩形纸片ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．

C’

F

E

D

C

B

A

此题题干并没有给出结论，那么教师在课堂研究时，可以将结论层次化．比如：

问题1：根据已知，你能求出图中哪些线段的长度？

编题意图：此问题设计的起点较低，对于教室各个层面的学生都可以去探索求出一些线段的长，比如基础一般的学生可以通过设AE=x，则BE=DE=8－x，利用勾股定理求出AE、DE；基础中等学生可以利用方程思想解决C’F、DF；基础较好学生的学生可以解决折痕EF等，让不同层次学生都积极思维起来，获取不同收获．

问题2：根据已知，你还能发现什么？

编题意图：在问题1的基础上，继续推进，让每个学生从自身起点都有想象空间．比如基础一般学生会去求△ADE的面积或周长；基础中等学生会去求△C’DF的周长或面积；基础较好的学生可能会发现重叠部分是等腰三角形，去求等腰三角形的面积等．

这样的问题按梯度去设计编制，让每个学生都感觉到课堂积极思考后有一定的收获，这样课堂的有效性得以落实，更关键的是激发了不同层次学生的学习积极性，摒弃了“题海战术”．

问题3：教师追问 = 1 \* GB3 ①B、F、 C’在同一直线上吗？追问 = 2 \* GB3 ②以点D为原点，CD为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，你能快速的表示哪些点的坐标？C’点的坐标是多少？

编题意图：1、在试题的编制中，不光解决学生给出的问题，教师必须提前预设好一些思维含量较高，学生想不到的问题，毕竟学生的认知有局限性和封闭性．像追问 = 1 \* GB3 ①预估学生很难想到，会引发学生思考通过“以算代证”去解决，追问 = 2 \* GB3 ②中又可以让各个层次的学生都能解决一些点的坐标，以免拔高后学困生没事做，这里可以再次点燃他们的斗志和激情．当然，这里学生能主动提出这些问题，设置异于教师预设之外的问题是最佳的，教师要感到高兴，教学相长；2、中考复习不是知识再现，也不是知识的浓缩，而是知识的再构造和能力的升华，这里的追问 = 1 \* GB3 ①很容易引发优秀学生积极思维和探究，让部分学生的思维品质得到提升，将学生思维训练引向高潮，追问 = 2 \* GB3 ②中点C’坐标的解决可以采用一题多解，一题多解是是中考二轮复习中教师经常采用的一种行之有效的教学策略，探究解法多样化，使知识之间进行串联，思维方法之间串联，正是由于平时对题的解法多样化的熏陶，最后让学生寻求符合自身胃口的优化解法，为中考顺利解题打下坚实的基础；3、让单位课时例题的量“降下去”，让学生思维的质“升起来”．教师在编制试题时，基于学情的现实，合理利用好例题资源进行改编，把问题层次化，适时适度的进行一题多解或多题归一，及时归纳总结解题策略，做到“入宝山不空返”，像此题的图形翻折，本质是全等变换，由对应点产生出对应线段，对应角的数量关系，以及对应点的连线被对称轴垂直平分．

 3、实验自主化，精心策划

在近几年的无锡中考压轴题中，数学实验操作类试题的命制往往是以几何图形或立体图形为背景，通过剪切与拼图、折叠与翻折、缠绕等构造出新图形．实验操作试题的题干分为动手操作和问题探究两部分，需要通过操作、观察、猜想、证明、计算等数学活动来完成解题．因此在专题复习时，如何去编制这类试题，是一个重要课题，从初中学生认知现实出发，在课堂中要大胆放手学生去实践，积累一定的操作技能，再通过观察、猜想、抽象、建立数学模型，转化为数学问题来探究．

例题3：把一张边长为60cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）如图，若再正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．

①求做成的盒子的底面积为y（cm²），与截去小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；

②当做成的盒子的底面积为900（cm²）时，试求该盒子的容积．

编题意图：第（1）小问对于初三中上基础的学生来说，难度并不大，但笔者还是建议课堂上让学生动手画一画、剪一剪，并把相对应的x和y标在图上，这样加强了学生几何直观，强化操作技能，为后续研究打下技能基础．

（2）（2013•无锡第28题改编）设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．使正方形硬纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等．

编题意图：第（1）问是折成无盖的长方体，第（2）本质是剪拼成有盖的长方体，这里核心是对“它的表面积与原正方形面积相等”这句话的理解，即第（1）问中剪出来的四个小正方形拼接成几何体的上底面，学生通过具体拼接操作不难发现剪出的小正方形边长为15cm．

（3）如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件： = 1 \* GB3 ①必须在硬纸片的四个角上各截去一个四边形（其余部分不能裁截）； = 2 \* GB3 ②折合硬纸片即无空隙又不重叠围成各盒面．请你画出符合上述制作方案的一种草图（不必说明画法与依据）；并求当表面积为2800（cm²）时，该盒子的高．

编题意图：试题以身边的题材为背景，重点考查方程应用能力及动手操作能力，试题促进数学教学由重视解题训练转向重视理论联系实际．从学生情趣角度来看，可以一改学习枯懆、疲惫状态，积极主动的去边操作边思考，在教师的协助下，发现第（3）的关键是准确把握长方形盒子的对称性，设元并列出方程．

4、错误资源化，精准点拨

心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学．”学生的错误是反映学情的第一手材料，特别是学生反复做错的一些题目，更是我们要格外关注的．此外，选择学生作业和考试中相关的一些易错易、混题的题目作为专题复习的素材，有助于引导学生养成回顾与反思的良好习惯．

例题4（2014•泰州第26题）平面直角坐标系xoy中，点A、B分别在函数 QUOTE （x＞0）与 QUOTE （x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

失误1：如图，设AB交y轴于点C，由AB平行x轴得 QUOTE

所以 QUOTE ．

失误2：因为A（ QUOTE ，所以B（ QUOTE ，所以 QUOTE

此题反映了部分考生在平时解题时重结果、轻过程，特别是像这种答

案显而易见，要求给出解题过程的问题，常常“会而不对，对而不全”．

教学建议：错误1和错误2虽然结论正确，但过程严谨性缺少，其隐蔽性强，危害性更大，可让学生把自己的解题过程在黑板给出，让学生进行有条理地表达给同学听，在倾听和理解他人观点中反思自己解题过程的完整性，教师适当点拨，使学生真正明白错误之所在，像上述失误1源于推理不严谨，这里必须先由AB平行x轴，说明AB⊥OC，进而得到△OAC和△OBC都是直角三角形，才能直得到两个三角形的面积都为2．失误2没有说明为什么能由A（ QUOTE 得到B（ QUOTE ，只要强调一下AB平行x轴，可知A、B两点的纵坐标相同．在二轮专题复习时，教师习惯注重分析引导，而忽视一些解题规范过程中的严谨性和完整性，针对类似上述易忽视的细节进行“精准扶贫”，真正做到“懂而会，会而对，对而全”．因此教师平时要关注这方面资源的收集，如2015年无锡中考第28题最后一问，学生的书写不规范就是一种很典型的错误资源．

    5、改编人性化，分层提效

清代张问陶《论诗绝句》中有曰：“好诗不过近人情”．其实“好课”也不过近人情，课堂的近人情就是以“学生为本”去组织课堂教学．课堂上，教师心中要始终装着学生，否则再巧妙的教学方法、教学技巧，失去这个根本就会变得毫无意义．其次，专题复习课对题精选后的改编，要关注各个层面学生，问题设计逐次深入，诸如本文中的例1、例2、例3．尊重学生认知规律，并始终尊重学生思维，课堂要留白，不局限于对问题求解思路、方法和结果的表达与交流，更关注到学生在学习过程中的感受、情绪、认识、想法和念想的表达与交流．

6、写在最后

专题复习实质上是将知识专题和方法专题精密结合的复习．因此，要以“双基”为本，回归教材，适度拔高，查漏补缺，突出重点，渗透考点，实现对知识的重新、有效地整合；要以方法为脉，人性改编，注重串联，掌握通法；要以思想为魂，渗透对数学发展影响最大的三大基本思想，即抽象、推理和模型．

参考文献：

[1]刘永东，苏德杰．谈2015年中考数学专题复习[J]．中国数学教育，2015（3）：36‒46

[2]陈德前．重结果，轻过程 合理推理不合情[J]．中学数学教学参考教育，2014（10）：46‒47

[3]李宽珍．重结果，基于课本资源的“微专题”教学实践与思考[J]．江苏教育中学教学，2015（11）：32‒34

[4]陈柏良．教给学生数学的思想和观念[J]．江苏教育中学教学，2015（5）：54‒56