平面向量的基本定理

【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题．

【知识点】

1.平面向量基本定理（共面向量定理）：如果，是同一平面内的两个       向量，那么对于这一平面内的任一向量，        一对实数，，使              ．

2.基底：我们把            的向量,叫做表示这一平面内所有向量的          ．

思考：（1）一组平面向量的基底有      对？(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？  

小结：（1）,均是非零向量，必须不共线，则它是这一平面内所有向量的一组基底.

（2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；，是被，，唯一确定的实数．

（3）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

（4）时，与共线；时，与共线；时，．

概念巩固：

（1）设向量,是不共线向量，下列向量中，不能作为基底的是            （填写序号）

①与   ②与    ③与   ④与

(2)设,是不共线向量，，，若与能作为一组基底，则实数的取值范围是                。

(3) 设,是不共线向量，，，，则=        

（用与作为基底表示）

3.正交分解：一个平面向量用一组基底,表示成+的形式，我们称它为向量的分解，当,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解．

思考：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

例1.已知向量，求作向量-2.5+3

 

 

 

 

例2.平行四边形的对角线和交于点，,,试用向量,表示,,,．

 

 

 

 

 

变式1：如图：中，，记，，试用向量,表示

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3.如图，平行四边形中，点为AB的中点，点N在AC上，且，求证：、、三点共线

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

变式：如图，三角形中，M是的三等分点（靠近O点），N是OB的中点，求值；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

探究：试用向量表示向量，其结论为                     

课后补充作业：

1.如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.设 ,,试用向量,表示、。

      

      

 

 

2. 中，D、F分别是BC、AC的中点，，求证：B、E、F三点共线

 

 

 

 

 

 

3.平行四边形的对角线和交于点，，N为的中点，设,,试用向量,表示

 

 

 

 

4. 平行四边形中，，N为的中点，,,试用向量,表示

 

 

 

 

5.如图：点D、E、F分别为边AB、BC、CA上的点，且，，

求证：