课题：第九章整式乘法与因式分解---章节复习

教学目标：

1、 进一步理解第九章相关内容，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。

2、 反思本章的学习过程，进一步感受从图形的面积计算得出整式乘法运算法则、乘法公式的过程，并能理解计算的算理，发展符号感，发展有条理的思考和表达能力。

教学重点：利用运算法则进行计算。

教学难点：感受从图形到面积得出运算法则，发展有条理的思考和表达能力。

教学过程：

一、温故知新：

学生完成练习，师生共同总结归纳知识结构和思想方法。

师：同学们好，今天我的身份不是老师，而是你们的伙伴，来助你们期中考试一臂之力，希望这节课大家积极举手发言，在我们彼此思维的碰撞下，精彩的呈现出这一节课，收获满满.让我们一起开始来复习整式乘法与因式分解.首先请同学们看这样一道题.

1、练习：

（1）选择：

下列从左到右的变形，属因式分解的有（          ）

（A）（x+a）(x-a)=x²-a²    （B）x²-4x+3=x(x-4)+3

（C）x³-8x²=x²(x-8)        （D）x+y=x(1+x(y))

师：哪位同学有答案了？

生：选C

师：你能简明扼要的说明理由吗？

生：。。。因式分解是把多项式化成乘积形式.

师：很好.那为什么D选项不对呢？

生：。。。

师：嗯.那A选项是什么过程呢？

生：整式乘法（计算）

小结：通过比较具体例题选项，让学生明确整式乘法和因式分解的本质，这是两种不同要求的变形，整式乘法是按照一定的运算顺序，通过所学的运算法则进行的计算，因式分解是按照一定的步骤实现整式呈现方式的转变及积的形式，以此来解决一些数学问题，但这两种变形都是恒等变形.

师：那我们通过练习一起来回忆一下，整式乘法有哪些类型.

（2）计算：

①5a²b·（-2ab³）=                ；      ②-x²y(3xy²z-7xz)=                       ；

③(2x+3y)(3x+2y)=                 ；   ④（x-2y）（x+3y）=                 ； 

⑤(2x-3y)²=                   ；　       ⑥（3y-2x）（2x+3y）=                 ；

 

小结：整式乘法的知识脉络：包括单项式乘单项式、单项 式乘多项式、多项式乘多项式

（1）单项式乘单项式,主要运用幂的乘法法则为基础，相对简单.

（2）单项式乘多项式，主要运用乘法对加法的分配率，其公式为a(b+c)=ab+ac.运算时应注意符号要参与运算.

（3）多项式乘多项式，本着六字方针：先乘开，再合并。注意在乘开的过程中要注意符号的准确参与运算.

（二）注意运用乘法公式

①明确公式的作用，乘法公式可以使运算大大简化，提高计算速度。让学生养成运用公式的习惯.

②明确公式的特点：如平方差公式的特点是：公式左边是两个数的和与差的积，公式右边是这两个数的平方差，（x+y）（x-y）=x2-y2.

完全平方公式的特点：公式左边是这两个数的和的平方， 公式右边是三项，第一项是一个数的平方，第三项是另一个数的平方，中间一项是这两个数积的二倍，（a+b）                  2=a2+2ab+b2.

 

师：从左往右是整式乘法，那从右往左就是因式分解，那我们再一起通过练习复习一下因式分解的步骤

（3）因式分解：

①3a(x＋y)－2b(x＋y) =                ；②4a²－16 =                 ；

③3x²＋12xy＋12y²=                ；  ④x²＋4xy－5y²=                ；

⑤(x²+4)²-16x²=                ；      

师问生答，最后归纳小结.

小结：（一）明确因式分解的含义：因式分解就是把一个多项 式由和的形式转化为几个整式的积的形式.因此从形式上看，是由和化积的过程.

（二）明确它与整式乘法的关系：是互逆的过程。整式乘法是由积化和，因式分解是由和化积.

（三）明确因式分解的思路：第一步,先看有无公因式可 提，若有应先提公因式.第二步，看能否应用公式分解。第三步，看是否已分解彻底（一提，二套，三查）.

 

（设计意图：通过填空的呈现，引导学生形成知识框架，让学生感受到知识的系统化。渗透逆向思维和整体思想）

师：通过刚刚的复习，相信同学们已经掌握了基本知识点.现在同学们来比比速度，看看谁的眼力最好，反应最快.

（3）判断：

①-4a³b³+6a²b-2ab=-2ab(2a²b²-3a)                  （       ）

②3x²y+6xy²-9xyz=xy(3x+6y-9z)                     （       ）

③4x²-9y²=(2x+3y)(2x-3y)                         （       ）

④-a+2a²-a³=-a(1-2a+a²)                          （       ）

⑤16(a-b)²-9(a+b)²=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]     （       ）

⑥9y⁴-9=(3y²+3)(3y²-3)                            （       ）

（设计意图：通过判断和纠错，总结运算时的注意点，培养学生严谨的解题习惯。）

师问错误原因

生答

1.提公因式后失项    正解：原式 =-2ab(2a2b2-3a+1)

2.提不彻底          正解：3x2y+6xy2-9xyz=3xy(x+2y-3z)

3. 提醒：周而复始，概念不清  

4.分解不彻底这是进行分解因式过程中的最常见错误之一。正解：原式 =-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2 

5.分而不合         正解：原式 =[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]

=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)

6. 分解因式的步骤混乱：应先提取公因式，再考虑用公式

正解：原式 =9(y4-1)=9(y2+1)(y2-1)=9(y2+1)(y+1)(y-1).

归纳总结：

（1）回忆一下，本章中你学了哪些数学知识呢？

（2）在本章中，你学到了哪些数学思想方法呢？

（3）在运算过程中，你觉得有哪些注意点呢？

 

知识框架(板书）：略

思想方法：①整体思想   ②数形结合   ③等积法   ④转化思想

二、例题讲解：

例1.已知m²-2m=1，求(m-1)(3m+1)－(m+1)²的值；

 

 

例2.已知 x+y=3， xy=-20，求：（1） x²+y²；（2）(x-y)²

师：变式练习（随堂出）

小结：整体代入法的应用

      转化思想

（设计意图：让学生熟悉完全平方公式的变形。）

例3.计算：(a+b+2)(a+b-2)  

（设计意图：让学生回忆平方差公式特征，熟悉整体思想的运用.）

变式2 ：计算：① (a-b-2)(a+b-2)；    ② (a-b-2)(b-a+2)                 

（设计意图：通过变式，使学生进一步熟悉公式特征，加强对公式运用的熟练程度.）

小结：1、应用平方差公式(a+b)(a-b)= a-b，关键是找到公式中的a和b；

     2、 符号相同的是“a”，符号相反的是“b”；

     3、 应用完全平方公式(a±b)=a±2ab+b，关键是找到公式中的a和b，并注意符号；

     4、整体思想.

变式3：计算求值：(a+b+2)-(a+b-2)其中a=32,b=33.

（设计意图：巩固学生对完全平方公式、平方差公式和整体思想的运用；通过一题多解，让学生感受解题方法的多样性；进一步理解因式分解的定义；感受运用因式分解进行计算的优越性。）

小结：使用整式乘法的知识也能解决，但是过程繁琐，计算复杂。通过引导学生灵活应用因式分解的知识来进行适当的恒等变形，达到简便运算的目的，既打破了学生对整式乘法与因式分解的认知局限，进一步明确整式乘法与因式分解都是整式的恒等变形，两者的灵活运用能帮助我们多角度、简单便捷地解决实际问题，又通过知识的碰撞，及时构建数学知识网络。

此题可用完全平方公式，也可用因式分解的方法；运用因式分解进行计算的优越性。

三、能力提升

1.若a、b、c 是△ABC 的长，满足a²+b²= 10a+8b-41，c 是△ABC中最长边的边长，且c为整数，那么c可能是哪几个数？

 

2.图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．ab      B．(a+b)²      C．(a-b)²       D．a²﹣b²

数学思想：等面积法，数形结合。

3.有若干张如图（1）所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b）,宽为（a+b）的大长方形，需要A类卡片       张，B类卡片      张，C类卡片      张，请你在如图（2）的长方形中画出一种拼法。

 

 

 

 

 

 

 

小结：通过练习继续进行不同要求的恒等变形，既可以提高学生的计算能力，又可以引导学生灵活运用因式分解，多角度、多策略地解决数学问题。

（设计意图：通过变式，使学生逐步感受从图形的面积得出等式的方法，等式和图形的关系，渗透数形结合的数学思想，发展有条理的思考和表达能力。）

三、小结思考：

1、这节课你巩固了哪些知识？

2、你掌握了哪些数学思想方法？

通过不同要求的恒等变形，复习巩固了整式乘法的运算法则和因式分解的一般步骤及注意点。灵活运用因式分解进行整式的恒等变形，可以帮助我们简便地解决数学问题，增加了我们解决数学的方法和途径。在恒等变形思维的指导下，通过分析、解决具体例题，感受到了数学的统一性，不同方法的有效性。

 

四、巩固练习：

1、在下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是               (       )

A．(a+3)(3+a)   B.(6x-y)(y+6x)    C．(-m+2n)(m-2n)    D.(a²-b)(a+b²)

2、下列分解因式中，错误的是（　　）

A、15a²+5a=5a(3a+1)          B、-x²-y²=-(x+y)(x-y)

C、m(x+y)+x+y=(m+1)(x+y)    D、x²-6xy+9y²=(x-3y)²

3、要使x²+2ax+16是一个完全平方式，则a的值为（　）

A、4　　B、8　　C、4或－4　　D、8或－8

4、（     ）；(b-a)(__  __)=a²-b²；4x²-12xy+(___)=(___  __)²

5、若

6、数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：.现将数对放入其中得到数，再将数对放入其中后，如果最后得到的数是          .（结果要化简）

7、计算求值：

（1）(x-y+1)(x+y-1)                 (2) (x-1)(x-2)-3x(x+3)+2(x+2)(x-1). 其中x=

 

 

 

8、因式分解

(1)4x³y²-6x²y-2xy            (2) a²+2a(b+c)+(b+c)²        (3) –4xy+x²y＋4y

 

 

 

(4) x⁴-18x²+81             (5) 4x²y² - (x²+y²)²          (6 )a²(a-b)²-(b-a)²

 

 

9.由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成一个新的图形。试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么。