知识技能
1. 理解集合的含义，掌握集合中元素的特征，掌握常用数集及其记法．
2. 了解属于关系，能判断元素与集合间的关系．
思想方法
通过实例，抽象概括出集合的概念，进而培养学生用数学的观点表达世界，提高学生对概念的理解能力．
核心素养
1. 通过学习元素和集合的定义、集合中元素的特征，发展数学抽象素养．
2. 在判断元素与集合的关系的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养．
重点：集合的含义、集合中元素的特征、元素与集合间的关系．
难点：元素与集合间的关系．
一、 知识梳理
1．集合的概念
（1）元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.
相等集合：构成集合的元素是一样的两个集合.
（2）集合与元素的关系
如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；
如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.
（3）集合中元素的特点：确定性；互异性；无序性.
（4）相等集合：构成集合的所有元素相同.
2．常用数集及其记法
所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
二、 数学运用
1 判断下列各组对象能否构成集合：
(1) 1～10之间的所有奇数； (2) 某中学今年入学的全体高一学生；
(3) 所有的正方形； (4) 所有的好人；
(5) 和2024非常接近的数； (6) 到直线l的距离等于定长d的所有点；
(7) 不等式2x＋1>7的整数解； (8) 方程x2＋1＝0的实数解．
2 设集合A是由不小于2eq \r(3)的数组成的集合，a＝eq \r(11)，则下列各式中正确的是[3]( B )
A．a∈A B．a∉A C．a＝A D．a≠A
用符号“∈”或“∉”填空：
1 N， －3 N， 0.eq \o(3,\s\do4(·)) Q， eq \r(2) N，
1 Z， －3 Q， 0 Z， eq \r(2) R，
0 N*， π R， eq \f(22,7) Q， cos30° Z.
3 已知集合A是由m－1，3m，m2－1三个元素组成的，且3∈A，求实数m的值．
4 不包含－1，0，1的实数集A满足条件：若a∈A，则eq \f(1＋a,1－a)∈A.如果2∈A，求A中的元素．
三、 课堂小结
1. 集合的含义：把一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性．
2. 常用的数集：自然数集(N)，正整数集(N*或N＋)，整数集(Z)，有理数集(Q)，实数集(R)．
3. 元素与集合的关系：a属于集合A，记作a∈A；a不属于集合A，记作a∉A.
四、 课后作业
1. 阅读课本P2-6页，复习课堂讲授内容；
2. 课堂本相应课时作业．
第2课时 集合的表示
知识技能
理解并掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)，会表示一些简单的集合．
思想方法
在理解集合的两种表示方法的过程中，培养学生认识事物的能力以及数学应用的意识．
核心素养
在熟练掌握集合的两种表示方法的过程中，发展逻辑推理素养．
重点：初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．
难点：会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．
一、 知识梳理
1. 集合的表示
(1)自然语言：
(2)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.
使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
(3)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.
使用说明
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
2．集合的分类
一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.
我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.
二、 数学运用
1 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 单词mathematics中的字母组成的集合；
(3) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(4) 同时满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4>0，,1＋x≥2x－1))的整数组成的集合；
(5) 由eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)(a，b∈R)所确定的实数组成的集合．
用列举法表示两直线y＝2x＋1和y＝x－2的交点组成的集合： .
由eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＋eq \f(|ab|,ab) (a， b∈R)所确定的实数组成的集合为 .
2 用描述法表示下列集合：
(1) 方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2) 由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3) 所有能被3整除的整数组成的集合；
(4) 不等式2x－3＞5的解集；
(5) 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合；
(6) 集合{1， 3， 5， 7， 9}．
用描述法表示下列集合：
(1) 正偶数集；
(2) {2，4，6，8，10}．
解 (1) {x|x＝2n，n∈N*}．
(2) {x|x＝2n，1≤n≤5且n∈N}．
给出如下三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}; B＝{y|y＝x2＋1}; C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．它们表示的意义是否相同？
解 它们表示的意义不相同．集合A表示y＝x2＋1图象上点的横坐标的范围，集合B表示y＝x2＋1图象上点的纵坐标的范围，集合C表示y＝x2＋1图象上的所有点．
[题后反思] {x|y＝P(x)}，{y|y＝P(x)}，{(x，y)|y＝P(x)}，竖线的左边部分指明了集合中元素由哪个确定，要根据其确定集合的属性，即是数集、点集还是其他类型．
3 设集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，构成集合A的元素是什么？[3](见学生用书课堂本P4)
在例3的条件下，若A中只有一个元素，求实数a的值．
在例3的条件下，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
在例3的条件下，若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
4 (1)设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
(2)数集，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．A，，都有可能
(3)集合A中元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为0，1，2．
三、 课堂小结
集合的两种表示方法(列举法、描述法)．
四、 课后作业
1. 阅读课本P2-6页，复习课堂讲授内容；
2. 课堂本相应课时作业．
第3课时 集合间的基本关系
知识技能
1. 了解集合之间的包含含义，能识别给定集合的子集．
2. 理解子集、真子集、集合相等及空集的概念，并能正确处理集合之间的关系．
3. 能使用符号和Venn图表示集合之间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
思想方法
使用Venn图表示集合之间的关系，渗透等价转化与数形结合思想．
核心素养
1. 通过实例抽象出子集、真子集的概念，发展数学抽象素养．
2. 通过理解集合之间的包含含义，发展逻辑推理素养．
3. 通过使用符号和Venn图表示集合之间的关系，发展直观想象素养．
重点：子集、真子集、空集的概念．
难点：能用符号和Venn图表示集合之间的关系．
一、 知识梳理
1．子集
一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
规定：空集是任何集合的子集，即．
子集的性质：
（1）任何一个子集都是它本身的子集，即．
（2）若，且，则．
B |
A |
韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用图表示：
3．真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）．
真子集的性质
（1）空集是任何非空集合的子集．
（2）若A B，BC，则A C．
4．集合的相等与子集的关系
如果A⊆B且B⊆A，则A=B； 如果A=B，则A⊆B且B⊆A．
5．有限集合的子集个数
若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2．
二、 数学运用
判断下列各组集合间的关系：
(1) A＝{北京市，上海市，南京市}，B＝{南京市}；
(2)A为某中学高一(1)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；
(3) A＝{x|x是有两条边相等的三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4) A＝{－1， 1}， B＝{(－1， －1)， (－1， 1)， (1， －1)， (1， 1)}；
(5) A＝{x|－1＜x＜4}， B＝{x|x＜5}．[1]
(教材例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由．
(1) A＝{1， 2， 3}， B＝{x|x是8的约数}；
(2) A＝{x|x是长方形)，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
判断下列各组集合间的关系．
(1) A＝{x|x＝2k－1， k∈Z}， B＝{x|x＝2m＋1， m∈Z}；
(2) A＝{x|x＝4n＋1， n∈Z}， B＝{x|x＝2n＋1， n∈Z}．
(教材例1改编)写出集合{a， b， c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．[2]
下列式子中正确的有 .(填序号)
① a⊆{a}； ② {a}∈{a， b}； ③ {a， b}⊆{b， a}； ④ {－1， 1}{－1， 0， 1}; ⑤ 0∈∅； ⑥ {0}＝∅； ⑦ ∅⊆{0}； ⑧ ∅{－1， 1}．
(1) 集合{a， b， c， d}的所有子集的个数是 .
(2) 集合{a1，a2，…， an}的所有子集的个数是 .
已知集合A＝{1， 4， 2a－3}， B＝{1， a2－2a＋1}， B⊆A，求实数a的值．[3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}．
(1) 若B⊆A， B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2) 若A⊆B， B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
5. 已知集合A＝{x|x2＋4x＝0， x∈R}， B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 由题意得A＝{x|x2＋4x＝0， x∈R}＝{0， －4}．
因为B⊆A，所以B＝∅， {0}，{－4}或{0， －4}．
① 当B＝∅时，Δ＝[2(a＋1)]2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
② 当B＝{0}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝－2(a＋1)，,0＝a2－1，))解得a＝－1.
③ 当B＝{－4}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4－4＝－2(a＋1)，,16＝a2－1，))无解．
④ 当B＝{0， －4}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4＋0＝－2(a＋1)，,0＝a2－1，)) 解得a＝1.
综上，a≤－1或a＝1，即实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．
三、 课堂小结
1. 子集、真子集、集合相等、空集的概念．
2. A⊆B(B≠∅)⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝∅⇒AB，,A≠∅⇒\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB，,A＝B.))))
3. 集合之间的关系常借助数轴或Venn图来描述．
四、 课后作业
1. 阅读课本P2-6页，复习课堂讲授内容；
2. 课堂本相应课时作业．
第4课时 并集与交集
知识技能
1. 理解并集、交集的概念，并会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集．
2. 会求集合的并集和交集及与之有关的参数问题．
思想方法
在理解并集与交集的概念，求集合的并集、交集及其应用的过程中，培养逻辑思维．
核心素养
1. 在理解并集与交集概念的过程中，发展数学抽象素养．
2. 在用符号、Venn图和数轴表示并集、交集时，发展直观想象素养．
3. 通过求集合的并集、交集及与之有关的参数问题，发展数学运算素养．
重点：理解并集与交集的概念，会求集合的并集与交集．
难点：能使用Venn图表示集合的关系及运算．
一、 知识梳理
1．并集的概念及性质
文字语言 |
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) |
符号语言 |
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} |
图形语言 |
|
性质 |
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A， A⊆A∪B A∪B＝A⇔B⊆A， |
2. 交集的概念及性质
文字语言 |
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) |
符号语言 |
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} |
图形语言 |
|
性质 |
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅， (A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A A∩B＝A⇔A⊆B， |
二、 数学运用
1 (教材例1改编)已知集合A＝{4， 5， 6， 8}， B＝{3， 5， 7， 8}，则A∪B＝
2已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B等于[1]( C )
A．{x|－1<x<1} B．{x|1<x<2}
C．{x|x>－1} D．{x|x>1}(见学生用书课堂本P7)
若条件中的B＝{x|1≤x≤3}，则A∪B=
已知集合A＝{－1，1，3}，B＝{x|－3<x≤2，x∈N}，则集合A∪B中元素的个数为 ( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
3 已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B等于( C )
A．{x|x>2} B．{x|0<x<2}
C．{x|1<x<2} D．{x|x<1}
若条件中集合A，B的描述中都加上x∈Z，则A∩B等于
已知集合A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋2x－3＝0}，则图中阴影部分表示的集合为 .
4 已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}．
(1) 若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
(2) 若A∪B＝{x|x<1}，求实数a的取值范围．
已知集合A＝{x|－1≤x<2}， B＝{x|x<a}．若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 ( D )
A. {a|－1＜a≤2} B. {a|a＞2}
C. {a|a≥－1} D. {a|a＞－1}
已知集合A＝{x|－1≤x≤3}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值．
当堂反馈
1. (多选)已知集合A＝{1， 4， a}， B＝{1， 2， 3}．若A∪B＝{1， 2， 3， 4}，则实数a的取值可以是( AB )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知集合A＝{1， 3， eq \r(m)}， B＝{1， m}．若A∪B＝A，则实数m的值为 .
3. 已知集合A＝{x|0<x<a}， B＝{x|0<x<2}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是 .
*4. 已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}， M＝{1， 3， 5， 7， 9}， N＝{1， 4， 7， 10}．若A∩M＝∅， A∩N＝A，且A≠∅，求实数p， q的值．
解 因为A∩N＝A，所以A⊆N.
又A∩M＝∅，所以A⊆{4， 10}．
因为A≠∅，所以A＝{4}或{10}或{4， 10}．
若A＝{4}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－p＝4＋4，,q＝4×4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－8，,q＝16.))
若A＝{10}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－p＝10＋10，,q＝10×10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－20，,q＝100.))
若A＝{4， 10}，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－p＝4＋10，,q＝4×10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－14，,q＝40.))
综上，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－8，,q＝16))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－20，,q＝100))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－14，,q＝40.))
三、 课堂小结
1. 并集与交集的运算技巧：(1)若集合中元素个数有限，根据定义求解，求解并集时要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴求解，要注意端点值是否取得．
2. 在进行集合运算时，若出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，利用集合间的关系解决，并注意A＝∅的情形．
3. [1]要根据集合的特征，选择合适的方法判断集合间的关系．
[2]已知集合的运算结果求参数的值或范围，培养数形结合思想．
四、 课后作业
1. 阅读课本P10-12页，复习课堂讲授内容；
2. 课堂本相应课时作业．
第5课时 补 集
知识技能
1. 了解全集、补集的含义，会求给定集合的补集．
2. 会用数轴、Venn图进行集合的运算．
思想方法
在理解全集、补集的含义的过程中，培养逻辑思维．
核心素养
1. 在理解全集、补集的含义的过程中，发展数学抽象素养．
2. 在集合的交、并、补的运算过程中，发展数学运算素养．
重点：会求已知子集的补集．
难点：集合的综合运算．
一、 知识梳理
1. 全集的概念
定义 |
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 |
记法 |
U |
2. 补集的概念及性质
定义 |
文字语言 |
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA |
符号语言 |
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} |
|
图形语言 |
|
|
性质 |
(1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ |
|
3. 交、并、补集的综合运算
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
二、数学运用
(1) (教材例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1， 2， 3}， B＝{3， 4， 5， 6}，求∁UA， ∁UB.
(2) 已知集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.
① S＝R；
② S＝{x|x≤2}；
③ S＝{x|－4≤x≤1}．[1]
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}， B＝{x|－3≤x≤2}，求A∪B， A∩B， A∩(∁UB)，(∁UA)∪B.[2]
在例2的条件下，求∁U(A∪B)， (∁UA)∩(∁UB)， ∁U(A∩B)， (∁UA)∪(∁UB)．
解 因为
发现补集的运算性质：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(1) 已知全集U＝{2， 3， a2＋2a－3}，集合A＝{b， 2}， ∁UA＝{5}，求实数a， b的值．
(2) 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜a}， B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁UB)＝R，求实数a的取值范围．[3]
解 (1) 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,b＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2或－4，,b＝3.))
(2) ∁UB
已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1}， B＝{x|x＋a<0}．若B∁UA，求实数a的取值范围．[4]
已知全集U＝R，集合A＝{x|3m－1＜x＜2m}， B＝{x|－1＜x＜3}．若B∁UA，求实数m的取值范围．
[规范板书] 解 ① 若A＝∅，则3m－1≥2m，解得m≥1.此时∁UA＝R，符合题意．
② 若A≠∅，则m＜1，此时∁UA＝{x|x≥2m或x≤3m－1}．
当2m≤－1，即m≤－eq \f(1,2)时，B∁UA，符合题意；
当3m－1≥3，即m≥eq \f(4,3)时，B∁UA，但与前提条件m＜1矛盾，舍去．
综上，m≥1或m≤－eq \f(1,2)，即实数m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m≥1或m≤－\f(1,2))).