教学设计2---5.1 二次函数
教材解析：
本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节内容，属于“数与代数”中的“函数”。二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型。二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。与一次函数和反比例函数一样，本章的教学内容和呈现方式，应有利于学生掌握二次函数的相关知识，有利于学生领会函数思想，为今后进一步研究一般函数和非代数函数积累方法和经验。
学情分析：
学生已经学习过了函数，一次函数和反比例函数，已经具备了函数的基本知识和基本技能，有了很好的基础和经验，经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量关系的重要模型。从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
设计思想：
1. 对课程标准和教材有整体的把握和认知，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；2.了解学生的现阶段的认知结构和知识水平，以便因材施教；3.创设与学生息息相关的情境，组合成问题串，激发学生学习数学的积极性，活跃课堂氛围。总而言之，课堂教学是实施新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道，课堂教学要始终关注学生的核心素养，为今后的人生奠基。
教学目标：
1.经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；
2.通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义，自变量范围形成的意义；
3.在经历“问题情境——建立模型”的过程中，进一步感悟数学具有抽象性，体会运用数学的思维方式进行思考；
4.采用类比的教学方法，感悟函数研究的内容、路径和方法．
教学思想：数学建模思想、类比转化思想。
教学方法：讲授法、谈话法、讨论法
教学工具：PPT幻灯片，白板软件
教学重点：
1.经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；
2.通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义，自变量范围形成的意义.
教学难点：
在经历“问题情境——建立模型”的过程中，进一步感悟数学具有抽象性，体会运用数学的思维方式进行思考’
教学过程：
一、回望旧知
1.一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆的周长C与半径r之间的函数表达式为，这是函数？
2. 用篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，已知长方形的面积是16（m2），长为x（m），宽为y（m），则y与x之间的函数表达式为，这是函数？
二、导入新知
问题1：一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆的面积S与半径r之间有何关系？
r (cm) |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
4 |
…… |
S (cm2) |
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…… |
问题2：用16m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，你将如何来研究生物园的面积？
可以借助表格列举：
长(m) |
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…… |
宽(m) |
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…… |
面积(m2) |
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…… |
有没有其他更好的研究方法呢？
问题3：一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元．总费用y（元）与镜面宽x（米）之间有怎样的函数关系？
归纳：一般地，形如的函数叫函数．
其中x是自变量，y是x的函数．
三、理解新知
1.（1）如果函数y＝＋kx＋1是二次函数，则k的值是 .
（2）如果函数y＝＋kx＋1是二次函数，则k的值是 .
2.（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0），自变量x的取值范围是什么呢？（2）三个问题情境得到的二次函数S＝r2、y＝－x2＋8x、y＝240x2＋180x＋45，对应自变量的取值范围各是什么呢？
四、深化新知
思考：用16m的篱笆围成一个一边靠墙的长方形的生物园饲养小兔(假设墙足够长)，设长方形的垂直于墙的一边长为xm，如果记长方形生物园的面积为y m2，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
交流：生活中还有很多二次函数的影子，你能举一些例子吗？
五、自觉生成
1.本节课研究了哪些内容？
2.还将研究什么？
六、课堂作业
书本P8 习题5.1
教学评价
本节课仍然从学生熟悉的简单实际问题出发，从水滴激起的波纹和圈养小兔这两个问题情境中，回望已经学过的一次函数和反比例函数的相关知识和研究方法，然后在相同的情境中建立二次函数的概念，感受二次函数与生活实际的密切联系。这样的安排既揭示了生活与生活的联系，又体现了前后呼应的整体性
二次函数是在函数概念的基础上，具体研究的第三个函数模型，是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的第三次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数与方程的思想，因此学习二次函数是学生认识函数的又一次飞跃。更为重要的是，让学生深入理解科学研究的一般方法，这对提高学生的科学素养，实现教育要关注“人的发展”十分有意义。
作业反馈
1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x B．y＝3x﹣5 C．y＝ D．y＝2x2+1
2．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
3．已知函数y＝(m2－2)x2＋(m＋)x＋8.
(1)若这个函数是一次函数，求m的值；
(2)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
4．已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．则m=_______．
5．某公司的年生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系式是________________．
6．求证：对于任何实数m，y＝(m2＋2m＋3)x2＋2020x－1都是关于x的二次函数．
7．如图，园艺工人利用长24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，用以种植红玫瑰和蓝玫瑰．设花圃的边AB长为xm，面积为Sm2.
(1)求S与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)根据实际要求，所围的花圃面积是45 m2，求花圃的长和宽分别为多少米？
第7题图