周建勋（无锡市教育科学研究院  214001）

尺规作图是初中几何教学中的一个基本内容，无论在课改前的教学大纲，还是在现行的“义务教育数学课程标准（2011年版）”（下称《标准》）中，都明确指出要能用直尺和圆规作出一些基本图形，这些最基础的尺规作图，我们习惯上称为“基本尺规作图”．尺规作图在各地的中考中也都有涉及，但考查的方式还比较单一，形式不够多样化．笔者结合十多年来参与无锡中考命题的实践，就尺规作图试题的命制做一些回顾与思考．

1        尺规作图的原理

1. 1      基本作图

现行《标准》中对尺规作图的要求如下：

（1）能用尺规完成以下基本作图——作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．

（2）会利用基本作图作三角形——已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角和斜边作直角三角形．

（3）会利用基本作图完成——过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．

从以上要求可以看出，《标准》列出了（1）中5种基本作图，并要求利用基本作图会进行（2）和（3）中的尺规作图．

1. 2      尺规作图原理分析

尺规作图的工具只限于直尺和圆规．直尺是没有刻度的，它的功能是作直线；圆规在尺规作图中的功能就是作等长的线段，它可以在平面内的任何位置、任意方向，作一条线段等于已知线段．所以，尺规作图的核心是通过作等长的线段来实现的．例如：作一个角的平分线．

如图1，已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线．

作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D；

（2）分别以C，D为圆心，大于 eq \f(1,2)CD长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E．

（3）画射线OE．

则OE就是∠AOB的角平分线．

从以上作图步骤可以看到，点E的得到，都是用圆规这一工具，通过作等长的线段来实现的．

我们知道，几何图形最基本的元素是“点”，所以任何尺规作图都是通过“作点”来实现的．为此，我们在解答尺规作图题时，就要分析这样的“点”满足怎样的条件，然后运用圆规作等长的线段得到这个“点”．

2        试题分析

试题1（2001·无锡）已知△ABC（如图2），请用直尺（没有刻度）和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是△ABC的三个顶点（只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹）．

解析  本题的作图，并没有明确指出“作什么”？需要学生根据平行四边形的判定方法，来选择怎样的基本作图来实现目标．

本题的作图实际上是已知平行四边形的3个顶点，求作第4个顶点．由于这里没有明确顶点的顺序，所以，本题可以分别以AB，BC，AC为一条对角线来构作图形．如：若以AC为平行四边形的一条对角线，则AB和BC是此平行四边形的一组邻边，第4个顶点D就应满足DA = BC且DC = AB，由此可以确定下面的作法：

分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ADBC即是所求作的平行四边形（如图3）．

点评  本题的作图有这么几个特点：（1）本题不仅考查了基本作图，而且考查了平行四边形的判定知识；（2）本题不仅考查了作图的结果，而且很好的考查了学生思维的过程；（3）本题还可运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等其他方法来作，所以本题又是一道开放性试题，很好地考查了学生思维的发散性、灵活性、深刻性；（4）本题不是机械地考查学生对知识的记忆，更是考查了学生对所学知识的和工具（直尺和圆规）的运用．所以本题虽难度不是很大，但考查内涵很丰富的，显得极具灵性．

试题2（2006·无锡）如图4，已知△ABC中，AB＞AC．试用直尺（不带刻度）和圆规在图3中作一条直线l，使点C关于直线l的对称点E落在边AB上（在图上标出点E，并保留作图痕迹）．

解析  本题的要求是作出这样的直线l，使“点C关于直线l的对称点E落在边AB上”，则可以：（1）作AC的垂直平分线；（2）作∠ABC或∠BAC的角平分线；（3）过AC的中点作AB的平行线等方法．但由于AB＞AC，所以这里作“∠ABC的角平分线”或“过AC的中点作AB的平行线”，并不能保证点C的对称点一定在边AB上（当∠A是钝角时点C的对称点就落在边BA的延长线上），所以这里最直接的方法就是“作AC的垂直平分线”（将点C与点A看作一对对称点）．当然也可以选择“作∠BAC的平分线”．

点评  一般地，“点与点对称”可以考虑作线段的垂直平分线；“线与线”的对称可以考虑作角平分线．

本题的特点是：（1）作图方法的探索性，即选择怎样的基本作图，需要学生自己去探索；（2）作图方法的开放性，即满足题意的作法不唯一；（3）思维过程的深刻性和批判性，即对多种作图方法需要去判断和选择；（4）作图内容的基础性，即最后选择的作图仍然是初中数学中的基本作图．

试题3（2008·无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为40°．

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形有 ______个．

解析  已知两边和一角的三角形是不唯一的．如果是“已知两边及其夹角”，则这个三角形是唯一的．所以解答第（1）小题可以按“已知两边及其夹角”用带刻度的尺去画（如图6（1））；第（2）小题则就是另一种情形，即“已知两边及其中一边的对角”，这时可以采用图6（2）的作法即可；第（3）小题则可沿着第（1）和第（2）小题解法的思路进行分类讨论，这样的三角形一共可以作出4个（如图7）．

试题4（2014·无锡）（1）如图8，Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 2BC．现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．求证：eq \s\do(\f(AE,AB)) = eq \s\do(\f(\r(5) - 1,2))．(这个比值□eq \s\do(\f(\r(5) - 1,2))□叫做AE与AB的黄金比．）

（2）如果一等腰三角形的底边与其腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图9中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．）

解析  本题第（1）小题用作图操作的方法给出已知条件，要求学生证明结论．第（2）小题要求“以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．”这里必须借助（1）中“黄金点”的作图方法及“黄金比”概念，先在图10中作出点F（相当于图8中的点C），再作出线段AB的黄金分割点G．这一过程可以参照第（1）小题题目的作法；再就是在理解“黄金三角形”概念的基础上，作出点C．整个作图过程如图10．

点评  本题取材于苏科版初中数学教材的“黄金分割、黄金比及黄金三角形”等概念．试题的特点是：（1）本题实际上是一道以几何操作方式的阅读理解题．试题给出了一种黄金分割点的尺规作图方法，使考试也成为学生的一个学习过程；（2）尺、规是数学及实际生产、生活中最常用、最基本、也是最简便的作图工具，利用它可以作出许多美妙的图案．如利用黄金三角形可以作出如图11的黄金螺线．黄金分割不仅是一个数学知识，更是一种数学文化，虽然在中学数学中涉及不多，但在现实生活中却应用很广，具有极强的实际应用性．

本题也可以看作是一种数学实验.

3        反思

从以上几例中可以看到，尺规作图不仅仅是一种简单的操作，更是一种数学思维和数学探究的过程．利用尺规作图，可以很好地锻炼学生的分析、判断、操作和思维的能力.但从当今课堂教学中常常发现，许多老师只讲结果，不讲过程，不与学生一起去探究“为什么？”不能从多角度、多层次去揭示数学概念的本质，仅仅把数学知识、方法当作数学解题的一种技能.事实上，教材中许多概念、性质、定理等，都是我们教师与学生一起探索、研究、锤炼学生思维能力的好素材．只要我们在备课时多作一番思考和挖掘，多问一个“为什么？”“如果这样呢？”…，那么我们课堂教学的内容就会很丰富，数学的思维活动也就会得到充分的展开．许多数学概念、性质、定理等，之所以会成为数学的核心内容，它不仅仅在于其结果的，更多的还在于其形成的过程，许多数学思想方法都蕴含在其形成过程之中，是我们实现数学教学再创新的重要素材．

                                               《中学数学月刊》2014年第11期）