刘茂全

                 （南京师范大学附属中学江宁分校，南京  211102） 

 

摘要：道家哲学的出发点是顺应天然，全生避害.在当今的数学教学中，出现了诸多不合理的做法，背离了学生的实际.道家思想对于怎样正确处理好诸如“有与无”、“多与少”、“巧拙”等关系，顺应学生的本性而帮助学生获得天然的、合理的发展，有许多有益的启示.

关键词：道家；有与无、多与少；巧与拙；自然本性.

 

题记：事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即使是很不规范的教学法也如此.  ——Thom,1971.

在2006年江苏省初中数学青年教师优秀课评比中，一位老师是这样引入“字母表示数”的：“同学们，你们知道老师来自哪里吗？”（生沉默）“老师来自西楚霸王的故乡，但老师更喜欢常州.大家知道为什么吗？因为国际动漫会议将在常州召开.用来开会的这张圆形会桌的半径为r，它的面积应该如何表示呢？”

显然，这位老师是为了更好地贯彻“新课程理念”，创设了“与时俱进”的问题情境.在新课程实施的今天，这种矫枉过正的现象比较普遍.笔者试图从道家思想来分析数学教学中存在的几个关系问题.

1. 有与无、多与少关系问题

“反者道之动”是老子哲学的主要论点之一.大意是，在自然界和人类社会的任何事物，发展到了一个极端，就反向另一个极端.借用黑格尔的说法，一切事物都包含着它自己的否定^（1）.

1.1 有与无关系问题

老子说，“凿户牖以为室，当其无，有室之用.”（开凿门窗建造房屋，有了门窗四壁内的空虚部分，才有房屋的作用.）“故有之以为利，无之以为用.”（所以，“有”给人便利，“无”发挥了它的作用.）“天下万物生于有，有生于无.”（天下万物产生于看得见的有形质，有形质又产生于不可见的无形质.）^（2）

老子的这种有无观，可以用一个通俗的例子来解释.一只杯子，如果里面是空的，这“无”中却可以生“有”——它可以装满一杯东西；如果里面装满了东西，这“有”中却可生“无”——它再也装不了别的东西了.由此可见,有与无，是彼此互为因果，相生互变的.

教师讲课，若絮絮叨叨，事无巨细，讲个不停，这种“有”会生成学生学习兴趣和思维能力的“无”.应留足够的时间让学生去思考、创造、补充、回味、评价.这种“无”的正确运用,会生成学生学习兴趣和思维能力的“有”.

画一个圆圈，在最后留下一个小缺口，再看它一眼，你的心思便会倾向于把这个圆完成.格式塔心理学派“完形压强”理论认为，当人们在观看一个不规则、不完美的形状时，就会产生一种内在的紧张力，迫使大脑皮层紧张地活动，以填补“缺陷”，使之成为“完形”，从而达到内心的平衡.

这种“完形”心理，笔者深有体会.一次听课，课题是“平面向量的数量积（第一课时）”

.听完课后，笔者一直纳闷，为什么教材只研究平面向量的和、差、积，而不研究商？问了几个老师，都说不清楚，这个问题一直挥之不去.直到有一天，得到一位大学老师的解释才释然.对于这样的问题，至少可以告诉学生，我们以后研究.

又如板书.有的课上用多媒体，一下子屏幕上出来一大片，信息量成倍增加，人“灌”进化为机“灌”.其实，板书和课件内容有时不必完整,我们要展示的内容，不能仅仅局限于画面以内，而应使画面以内的形象因素与画面外，即课本中或学生大脑中储藏的某些事物相呼应.或者让学生结合展示的不完整形象去思考、去联想、去推理，使不完整的变成完整的，使缺陷的变成完形的，使学生的审美需要由单一的直叙静态接受，趋向于多层次哲理式动态思考，使有缺陷的事物在学生的眼里获得一种意念中的完整，从而在心理上产生一种满足感.

1.2  多与少关系问题

老子说，“少则得，多则惑.”（少取便会获得，贪多便会迷惑.）一定的活动相对于客观环境而有其极限.一个人吃得太多，本来对身体有益的东西也变成有害的东西，他就要害病.一个人应当只吃适量的食物.这是事物变化所遵循的规律^（3）.老子把它们叫做“常”.他说：“知常曰明.”（认识了自然规律就叫做聪明）

1.2.1讲授与探索的多少

《数学新课程标准》要求教师应“帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”“满堂灌”行不通了，必须重视学生的自主探索.

但自主探索并不排除讲授，如何处理好讲授与探索的关系？应该根据实际教学内容，适度讲授与探索，不可偏颇.一般来说，下列四种情况宜少讲:1.教材上的内容，学生基本上能看懂的；2.不是大多数同学能接受的；3.只有短期效果的；4.当前较为复杂，日后显而易见的.但也不是什么都能探究的，有的结论经过数百年，甚至上千年才得到，让学生通过一堂课去探索，不必要，也不可能.张奠宙教授认为，有三种知识不宜“探究”：1.超经验的知识；2.不可证明的知识；3.程序性的知识^（4）.

1.2.2课堂提问的多少

笔者曾听了一堂市级公开课，听了5分钟，被教者连珠炮似的问题震惊了，便开始划“正”计数.设问句不算，在随后的40分钟内，共提了114个问题！平均约20秒一个.这些问题大多或被割碎，缺少思维价值，或随心所欲，缺乏目的；或内容简单，追求气氛热闹.

课堂提问过少，便成了“满堂灌”.问题过多，课堂气氛表面上轰轰烈烈，实质造成虚假的繁荣景象，缺少有效思维训练.

课堂提问至少应该满足以下条件：1、有目的，不能随意；2、有启发性，能激活学生思维；3、深浅适度，问在学生知识和能力的最近发展区内；4、面向全体，尽可能让大家有所思，有所得.

对照这个标准，笔者算了一下，114个问题至少可以砍掉80个.

1.2.3解题训练的多少

有一个老师，“教学效果”出奇的好，怎么考她都拿第一，是不倒翁，众人称奇，不得其解.笔者一日前往取经，讲的是“可化为一元二次方程的分式方程”的解法，三种题型，本应讲三节课.该老师15分钟内“精讲”结束，不谈为什么要换元，为什么这样换元.不谈整体思想，不谈转化的方法，剩下的时间便是“多练”.下课前的小测验表明，正确率很高.笔者却满腹狐疑，下课后找了一个学生，请他解方程：，一会就解好了.问他能不能不检验？他很坚决地说：不能.问他为什么，“这是分式方程，分式方程都要检验的.”再问：“为什么分式方程都要检验？”“老师和书上都是这样要求的啊.”事实上，在整个解题过程中，并没有“在方程两边乘以一个可能为零的式子”，每一步解的范围都没有变化，可以不检验.

“熟”能生“巧”吗？能的！但要看在哪方面. 欧阳修在《卖油翁》一文中提到，陈康肃公的善射和卖油翁那种“取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以勺酌油沥之，自钱孔入而钱不湿”的绝技，是“熟能生巧”的结果，但属于技能层面，不能适用于学习.心理学的行为主义的刺激——反映学说表明，刺激越强，反映越烈，记忆越牢，行为越规范.其根据是一系列的动物实验和人的心理测量实验.问题是这些实验不能解释稍微复杂一些的数学学习现象.行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别.事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入的探讨^（5）.

老子指出，“圣人处无为之事，行不言之教.”（圣人用“无为”的态度来对待一切问题，实行“不言”的教导.）“无为”的意义，实际上并不是完全无所作为，它只是要为得少一些，不要违反自然地任意地为.一个人若是为得太多，就变得有害无益.况且为的目的，是把某件事情做好.如果为得过多，这件事情就做得过火了，其结果比完全没有做可能还要坏.

过度训练，剥夺了学生独立思考、自由发挥的机会,导致学生熟练有余，灵活不够，扼杀了学生的创造力，甚至练出了厌学情绪，就适得其反了.

1.2.4课堂表扬与批评的的多少

在一次省级赛优课上，有这样一段对话.老师问“边长为10的正方形面积是多少呢？”

“100.”“非常聪明！”

现在的课堂，尤其是公开课，无不以一味表扬学生为乐，唯恐批评学生，显示自己学生观落后，这种风气已经发展到了病态的地步.笔者曾在一堂公开课上真切地看到，老师恶狠狠地说：“你真棒！” 有的在学生的回答还存有争议的时候，或者教师本人未听清楚，甚至没弄明白，还微笑着对学生说：“很好”，“非常好”！更有“你说的不对，很好！”这样评价学生，到底是起了正面作用，还是负面作用呢？令人疑惑.

老子说，“信言不美，美言不信.”（真实可信的话不漂亮，漂亮的话不真实.）

笔者以为，在课堂上，老师也应该有喜怒哀乐，对学生的评价应该是真实的，该表扬时就表扬，该批评时就批评，学生能够接受.而不应一味地满脸堆笑，讨好学生.

1.2.5分数的多少

据报载，广州市一名二年级学生在一次数学测试中得了98.5的高分(满分100)，可在全班排名却是倒数第二.小孩灰心丧气.家长被激怒了：小孩子从小就被教育得过分看重分数，比来比去，比出一些人自傲、—些人自卑，有什么好处! （《服务导报》1999.5.14）

读到这篇报道，笔者曾一笑了之.但三年前,我身边的一个实例，却让我笑不起来.一个初一学生，期末考试98分，这可是他一学期以来考到的最高分啊！得意之余，不免忘形，便兴冲冲地找到数学老师，亮出了这份得意的作品.老师冷冷地看了一眼，一言不发地把学生带到教室，对着全班65名学生说，“满分的请举手.”刷！20多个.又说，“99分的请举手.” 刷！又是20多个.最后一句是对这个同学说的:“你数老几？”

众所周知，没有好的分数，谁也不认为你在实施“素质教育”.但高得吓人的分数，带来的问题可能更多. 张奠宙教授的话一针见血:“我总劝一些升学率极高的学校的校长和特、高级教师，能够居安思危，不要过分夸张自己的成绩，也许有一些负罪感才好.真正的素质是考不出来的.”（《香港纪行》，数学教学,1999.6）

2.巧拙关系问题

有些老师教学时，过于渲染解题技巧，至于这种技巧怎么来的，其中蕴涵着怎样的数学思想方法，常常不作解释，让人感觉到如同“魔术师帽子里的兔子”般神奇.有的杂志也为此推波助澜.

某杂志曾介绍了如下“解题技巧”：计算 (2x-3y-1)(-2x-3y+5).

解：原式=[(2-3y)+(2x-3)]·[(2-3y) -(2x-3)]=(2-3 y)²-(2x-3)² =9y²-12 y-4x²+12x-5．

这种解法真的巧吗？直接用多项式乘多项式，如何？

《孙子兵法》说，“兵闻拙速，未睹巧之久也.”（只听说过指挥虽拙，但求速胜的情况，而没有见过为讲究指挥工巧而追求旷日持久的现象的.）老子说得更直接：“大巧若拙”.

这种“巧解”的弊端显而易见.“巧解”往往有其局限性，实用的范围一般都比较窄小，必须在一定的条件下才会产生，往往掩盖了数学基本思想方法的渗透. 我们理应首先追求“通法”，即基本思想方法，因为“通法”具有普遍性、指导性，能从根本上解决问题.

“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样.技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物.”（ M.克莱因）音乐家傅聪则说“技巧有时是音乐的敌人”.

据报载，九十年代墨西哥大地震时，有4700人丧生．一天后，救援人员从废墟中抢救出24个新生婴儿．在发生强震时，这些婴儿躺在砖瓦的缝隙中，先是大哭大闹了一场，但时间一久，见无人理睬，就乖乖地闭上了眼睛和嘴巴，睡起觉来，仅靠体内的脂肪维系生命，而没有象成年人那样浪费体力、脑力，作无谓的挣扎，因而最大限度内维持了生命所必需的能量.（《中国青年报》1996.4.26）这个例子很好地诠释了老子“柔弱胜刚强”的观点.

老子强调绝巧弃智（抛弃聪明智巧），认为“智慧出，有大伪.”（聪明智巧出现了，伪诈才盛行一时.）但是，圣人的“愚”，不同孩子的“愚”、普通人的“愚”，圣人的愚是一个自觉的修养过程的结果.它比知识更高，比知识更多，而不是更少.圣人的愚是大智，是精神的创造.而孩子和普通人的愚是自然的产物，二者有极大的不同.

本文开头提到的引入，教者可谓用心良苦.如果找不到更好的引入方法，就直接告诉学生：“今天，我们学习‘用字母表示数’”，如何？

3.自然与人为关系问题

万物的自然本性不同，其自然能力也各不相同.可是有一点是共同的，就是在它们充分而自由地发挥其自然能力的时候，它们是同等地幸福，我们应该顺乎天然.《庄子》“逍遥游”里讲了一个大鸟和小鸟的故事.两只鸟的能力完全不一样，大鸟能飞九万里，小鸟从这棵树飞不到那棵树.可是，只要它们都做到了它们能做的，爱做的，它们都同样地幸福.《庄子》的《骈拇》篇说：“凫胫虽短，续之则忧.鹤胫虽长，断之则悲.”^（6）（野鸭的腿虽然短，如果给它接上一段，它就会痛苦；仙鹤的腿虽然长，如果给它截去一段，它就会悲伤.）

教师的教学风格各有不同.有的课呈学者型,语调平缓，没有一句渲染的话，常三言两语便直奔主题，对数学实质的揭示入木三分，令人为之倾倒；有些课，抑扬顿挫，高潮迭起，激情飞扬，知识插上了情感的翅膀，讲授披上了艺术的灵光，听起来如坐春风,很是享受.不同人的性格，往往会决定他不同的教学风格,我们完全没有必要刻意改变自己的这种教学风格.

学生在数学学习方面的差异也如此.笔者教初三时,曾遇到一个学生,乘法公式记不住，笔者以为，可能是以前老师上课，没有说清楚公式的来龙去脉,在不理解的情况下,让学生死记硬背,并大量重复训练.于是,笔者详细地从乘方的意义讲起,把推导乘法公式要用到的几乎所有知识都讲了一遍.笔者又让她自己重新解释一遍,懂了.接着再出了几道题让她做一遍,虽然慢些,但基本做对了.笔者不禁为自己“高超”的教学艺术而激动!然而,第二天问她,一切又回到原来的状态,什么都不懂.在数学学习方面,要求这样的学生达到平均水平或更高,犹如“凫之胫”，“续之则忧.”

据徐利治教授说，他的一个学生, 短跑很好,数学却不行,常常不及格. 徐教授的要求是,你下次跑得更快,数学给你60分.我的那位学生,数学不行，短跑也不行,但一穿上体操服,便灵动起来! 她的数学如“凫之胫”, 她的体操如“鹤之胫”，何必要续之、断之?

钱钟书先生考清华大学时，数学考了15分，可国文、英文两科却得特优，英文还是满分.主管老师欲退不忍，欲取不敢，便报告了校长罗家伦.罗校长亲阅试卷后立即定夺，此为奇才，破格录取（《参考消息》1999.1.8）.他的数学如“凫之胫”, 国文和历史如“鹤之胫”，何必要续之、断之?

笔者无意鼓吹大家都回到过去“满堂灌”的课堂中去,无意废除一切教学技巧，也无意对学困生听之任之.只是觉得教学行为应该限制在必要的、自然的范围以内.“必要的”是指对于达到一定的目的是必要的，决不可以过度.“自然的”是指顺乎个人的教学水平而行，顺乎学生的认知水平,不作过分的努力.

我们应该遵循这种自然规律.老子警告我们：“不知常，妄作，凶. ”（不认识自然规律的轻举妄动，往往会出乱子和灾凶.）

 

参考文献：

1.冯友兰.中国哲学简史[M]. 天津：天津社会科学院出版社， 2005.

2.陈国庆、张爱东译注.道德经[M]. 西安：三秦出版社， 1995.

3.南怀瑾.老子他说[M]. 上海：复旦大学出版社， 2003.

4.黄家礼.对六年级一节“探究活动课”的设计[J].数学教学2005.（10）：15—17.

5.黄燕玲、喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报， 2002，11（3）：40—43.

6.杨柳桥.庄子译注[M]. 上海：上海古籍出版社， 2006.

 

 

Several Relation  Problems in Mathematics Teaching in Taoist Insights

LIU Mao-quan

(High school affiliated to Nanjing normal university Jiangning campus, Nanjing 211102,China )

 

Abstract：The essence of Taoism is to survive successfully by following the principle of nature. Current mathematics teaching has produced various unreasonable teaching methods, which go against students’ actual needs. Taoism, which correctly demonstrates the relations between existence and inexistence, the relations between more and less, the relations between wisdom and foolery and so on, gives us a lot of revelation to provide students with natural and reasonable development in harmony with their personalities.

Key words: teaching methods，Taoism, personalities

 

 

刊于《数学教育学报》2008年第1期