2018年高考考纲解读（数学）

专题一：函数的图像与性质

高考对本内容的考查主要有：

(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型 ；

(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；

(3)幂函数是A级要求，不是热点题型 ，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】

 1．函数及其图象

(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．

(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．

2．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；

(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；

(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．

3．求函数最值(值域)常用的方法

(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；

(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．

4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质

(1)指数函数y＝a^x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log_ax(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；

(2)幂函数y＝x^α的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．

5．函数图象的应用

函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.

专题二：函数与方程、函数的应用

高考对本内容的考查主要有：

(1)①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．

(2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题．

(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．

利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．

【重点、难点剖析】

1．函数的零点与方程的根

(1)函数的零点：对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．

注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2．应用函数模型解决实际问题的一般程序

eq \f(读题,文字语言)⇒eq \f(建模,数学语言)⇒eq \f(求解,数学应用)⇒eq \f(反馈,检验作答)

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系。

 

专题三：不等式

高考对本内容的考查主要有：

(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．

(2)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.

【重点、难点剖析】

 1．不等式的解法

(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax²＋bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．

2．基本不等式

(1)基本不等式a²＋b²≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.

(2)几个重要的不等式：①ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))²(a，b∈R)．② eq \r(\f(a²＋b²,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)(a＞0，b＞0)．

③a＋eq \f(1,a)≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．④2(a²＋b²)≥(a＋b)²(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．

(3)最值问题：

设x，y都为正数，则有 ①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值eq \f(s²,4)；

②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p).

3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)_min>A；

若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)_max<B；

(2)能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)_max>A；

若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)_min<B；

(3)恰成立问题

若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；

若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.

4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．

5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，可知eq \f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

专题四：导数及其应用

高考对本内容的考查主要有：

(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；

(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；

(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.

(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；

(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

【重点、难点剖析】

 1．导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x₀处的导数f′(x₀)就是曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线的斜率，即k＝f′(x₀)．

(2)曲线y＝f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线方程为y－f(x₀)＝f′(x₀)(x－x₀)．

2．基本初等函数的导数公式和运算法则

(1)基本初等函数的导数公式

(2)导数的四则运算：

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；

②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ux,vx)))′＝eq \f(u′xvx－uxv′x,[vx]²)(v(x)≠0)．

3．函数的单调性与导数

如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数

y＝x＋sin x .

4．函数的导数与极值

对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x³，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x³在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．

5．闭区间上函数的最值

在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．

6．函数单调性的应用

(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；

(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；

(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件.

 

 

 

 

 

 

专题五：三角函数图像与性质

高考对本内容的考查主要有：

三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是A级要求；

试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.

【重点、难点剖析】

 1．记六组诱导公式

对于“eq \f(kπ,2)±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

(1)五点作图法：五点的取法，设X＝ωx＋φ，X取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π来求相应的x值、y值，再描点作图．

(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．

(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言．

(4)把函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．

4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧

(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二．

(2)“1”的替换：sin²α＋cos²α＝1.

(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切.

 

专题六：三角恒等变换与解三角形

高考对本内容的考查主要有：

(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．

(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．

试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.

【重点、难点剖析】

 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α.

(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan²α).

3．正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

4．余弦定理

a²＝b²＋c²－2bccos A，b²＝a²＋c²－2accos B，c²＝a²＋b²－2abcos C.

推论：cos A＝eq \f(b²＋c²－a²,2bc)，cos B＝eq \f(a²＋c²－b²,2ac)，cos C＝eq \f(a²＋b²－c²,2ab).

5．三角形面积公式：S_△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C.

6．三角恒等变换的基本思路

(1)“化异为同”， “切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos²θ＋sin²θ＝tan 45°等．

“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．

(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，eq \f(α＋β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))等．

7．解三角形的四种类型及求解方法

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．

8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路

把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.

 

专题七：平面向量的线性运算及其应用

高考对本内容的考查主要有：

平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．

试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.

【重点、难点剖析】

 1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±eq \f(a,|a|).

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．

(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．

2．两非零向量平行、垂直的充要条件

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x₁y₂－x₂y₁＝0.

(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x₁x₂＋y₁y₂＝0.

3．平面向量的性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x²＋y²).

(2)若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则|A|＝eq \r(x₂－x₁²＋y₂－y₁²).

(3)若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝eq \f(a ·b,|a||b|)＝eq \f(x₁x₂＋y₁y₂,\r(x\o\al(²,₁)＋y\o\al(²,₁))\r(x\o\al(²,₂)＋y\o\al(²,₂))).

4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．

6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

 

专题八：数列

高考对本内容的考查主要有：

(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；

(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．

(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题．

(5)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法．

(6)数列与函数、不等式的综合问题.

试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．

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