陈坤  印晓明

江苏省南菁高级中学  江苏无锡   214437

在讲授高中物理《万有引力》章节的过程中，发现编者考虑到高中学生的实际水平，往往直接给出结论，如开普勒第三定律，第二、第三宇宙速度等等，教师授课时也一带而过，课后学生却感觉不过瘾，一些善于钻研的学生，往往要围着老师，追根穷源。因此，在课外培优时，笔者通过补充部分知识，解决学生常提的一些疑难问题，大大激发了学生兴趣，取得了较好的教学效果。

一. 第二宇宙速度和第三宇宙速度如何是如何得到的？

首先补充“引力势能”的概念：以无穷远处作为零势能点，设某星球质量为M，则距离球心为r的物体m引力势能表达式为。

简单证明：从该点到无穷远，万有引力做功

因此，A点引力势能表达式为。

第二宇宙速度又称脱离速度，是人造天体脱离地球引力束缚的最小发射速度。设地球半径为R，在地球表面：，在无穷远处，由机械能守恒定律得：=0，故第二宇宙速度，是第一宇宙速度的倍。

第三宇宙速度又称逃逸速度，是能使人造天体能够逃离太阳系束缚的最小发射速度。设太阳的质量为，太阳中心到地球中心的距离为。类比第一第二宇宙速度的求法，逃出太阳引力束缚的发射速度应为，当然，由于地球绕太阳公转的速度为，所以只要相对于地球以的速度发射。考虑到从地球表面发射时要克服地球的引力，因此由机械能守恒定律得：，而，所以第三宇宙速度。

二. 开普勒第三定律指出，所有行星椭圆的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，这个常数究竟等于多少？

按照由简到难，由特殊到一般的思路，可以先研究行星绕太阳做匀速圆周运动这种情况：

设太阳与行星的质量分别为和，运动半径和周期为和，万有引力提供向心力：

，即。

对于行星做椭圆运动，如下图所示，设太阳在椭圆的一个焦点上，行星围绕太阳做椭圆运动，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，

“面积速度”是个很有用的物理量，表示单位时间内行星的矢径扫过的面积，从理论上讲，只要求出矢径扫过的面积，再除以“面积速度”就可以求出行星的运行时间。由此可知，行星绕太阳的周期T可以用椭圆的面积除以面积速度，即。但是，一般位置的“面积速度”比较难求。根据开普勒第二定律，处处相同，因此可以求近日点或远日点的面积速度。

设矢径在很小的时间内扫过的面积，（如图所示）则单位时间内扫过的面积（俗称面积速度）=。

由开普勒第二定律可得：

由机械能守恒定律：

所以，又

，所以

即。

三．在近地附近自由落体时，可认为物体做加速度恒为的匀加速运动，那么，物体在较远的情况下下落时落地时间如何计算？

物体在中心天体的引力作用下做直线运动时，加速度不断变化，不能视为自由落体。此时可以采用极限思想，将该直线运动视为一个退化的椭圆运动，该椭圆的短轴b=0，则a=c，于是到达中心天体的时间为椭圆运动周期的一半。

 例如：宇宙空间有质量分别为 和的两个质点相距，固定，从静止开始，在万有引力的作用下运动，试求从开始运动到二者相遇所需的时间。

简析：根据开普勒第三定律，， 其中为常数，=，则，又，所以。

四．在双星系统中，一质量较大的天体向一中心天体运动时，严格意义上来讲，中心天体也会向其靠近，中心天体将不再固定，该如何解决？

解决该问题，关键在于求出等效的中心天体的质量。

作为上题的引申：宇宙空间有质量分别为 和的两个质点，相距，从静止开始，在万有引力的作用下相向运动，试求从开始运动到相遇所需的时间。

简析：加速向运动，若静止，问题很简单，难点在于也在向加速运动，所在的参考系为非惯性系，因此，分析的受力时除考虑二者的万有引力之外，还应考虑“非惯性力”。

在宇宙空间参考系中研究：，，在参考系中研究：，因此。

图2

由此可见，相对于的运动等同于一个质量为（）的力心不动，向其运动的情况。如图1所示。在例1的基础上，可以认为运动的直线轨迹是一个退化的椭圆（），有，同理：。

由上述四个问题可以发现，教师钻研的部分动力来自学生的追问，学生无尽的追问促使教师不断深入发展，这就是“教学相长”在物理课堂上最好的体现。